Question

17．将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（$\sqrt{3}$，0），点B（0，3），点O（0，0）
（1）过边OB上的动点D（点D不与点B，O重合）作DE丄OB交AB于点E，沿着DE折叠该纸片，点B落在射线BO上的点F处．
①如图，当D为OB中点时，求E点的坐标；
②连接AF，当△AEF为直角三角形时，求E点坐标；
（2）P是AB边上的动点（点P不与点B重合），将△AOP沿OP所在的直线折叠，得到△A′OP，连接BA′，当BA′取得最小值时，求P点坐标（直接写出结果即可）．

Answer 1

分析 （1）①由D为OB中点结合DE∥OA，可得出DE为△BOA的中位线，再根据点A、B的坐标即可得出点E的坐标；
②根据折叠的性质结合角的计算可得出∠AEF=60°≠90°，分∠AFE=90°和∠EAF=90°两种情况考虑，利用含30度角的直角三角形以及勾股定理即可求出点E的坐标；
（2）根据三角形的三边关系，找出当点A′在y轴上时，BA′取最小值，根据折叠的性质可得出直线OP的解析式，再根据点A、B的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式，联立两直线解析式成方程组，解之即可得出点P的坐标．

解答 解：（1）①∵DE⊥OB，OA⊥OB，
∴DE∥OA．
∵D为OB中点，
∴DE为△BOA的中位线，
∴点E为线段A、B的中点，
∴点E的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
②由折叠可知：△BDE≌△FDE，
∴∠EFB=∠ABO=30°，DF=BD，
∴∠AEF=∠ABO+∠BFE=60°≠90°．
∵△AEF是直角三角形，
∴∠AFE=90°或∠EAF=90°．
（i）当∠AFE=90°时，如图1所示．
∠AFO=180°-∠AFE-∠EFB=60°．
在Rt△AOF中，∠AFO=60°，AO=$\sqrt{3}$，
∴∠FAO=30°，AF=2OF，
∵$\sqrt{A{F}^{2}-O{F}^{2}}$=AO，
∴OF=1，AF=2．
在Rt△DEF中，∠DFE=30°，DF=BD=$\frac{OB-OF}{2}$=1，
∴EF=2DE，
∵$\sqrt{E{F}^{2}-D{E}^{2}}$=DF=1，
∴DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，DF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∵OD=OF+DF=2．
∴点E的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，2）；
（ii）当∠EAF=90°时，如图2所示．
∵∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴∠BAO=60°，
∴∠FAO=∠EAF-∠BAO=30°．
在Rt△AOF中，∠FAO=30°，AO=$\sqrt{3}$，
∴AF=2OF，
∵$\sqrt{A{F}^{2}-O{F}^{2}}$=AO，
∴OF=1，AF=2．
在Rt△DEF中，∠DFE=30°，DF=$\frac{OB+OF}{2}$=2，
∴EF=2DE，
∵$\sqrt{E{F}^{2}-D{E}^{2}}$=DF，
∴DE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∵OD=DF-OF=1，
∴点E的坐标为（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，1）．
综上所述：当△AEF为直角三角形时，E点坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，2）或（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，1）．
（2）由折叠可知：△AOP≌△A′OP，
∴OA′=OA=$\sqrt{3}$，∠AOP=∠A′OP，
又∵OB=3，
∴当点A′在y轴上时，BA′取最小值，如图3所示．
∵∠AOB=90°，
∴∠AOP=45°，
∴直线OP的解析式为y=x．
设直线AB的解析式为y=kx+b，
将A（$\sqrt{3}$，0）、B（0，3）代入y=kx+b中，
$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{3}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+3．
联立直线OP、AB的解析式成方程组，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-\sqrt{3}x+3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3\sqrt{3}-3}{2}}\\{y=\frac{3\sqrt{3}-3}{2}}\end{array}\right.$，
∴当BA′取得最小值时，P点坐标为（$\frac{3\sqrt{3}-3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}-3}{2}$）．

点评 本题考查了三角形的中位线、待定系数法求一次函数解析式、含30度角的直角三角形、勾股定理以及折叠的性质，解题的关键是：（1）①找出DE为△BOA的中位线；②分∠AFE=90°和∠EAF=90°两种情况求点E的坐标；（2）根据三角形三边关系找出BA′取得最小值点A′的位置．