分析 （1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；
（2）依题意画出图形，如答图2所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m的值；
（3）在旋转过程中，等腰△DPQ有4种情形，如答图3所示，对于各种情形分别进行计算．
解答 解：（1）在Rt△ABD中，AB=5，AD=$\frac{20}{3}$，
由勾股定理得：BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+（\frac{20}{3}）^{2}}$=$\frac{25}{3}$．
∵S△ABD=$\frac{1}{2}$BD•AE=$\frac{1}{2}$AB•AD，
∴AE=$\frac{AB•AD}{BD}$=$\frac{5×\frac{20}{3}}{\frac{25}{3}}$=4．
在Rt△ABE中，AB=5，AE=4，
由勾股定理得：BE=3．
（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如答图2所示：
由对称点性质可知，∠1=∠2．
由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4=∠1，BF=B′F′=3．
①当点F′落在AB上时，
∵AB∥A′B′，
∴∠3=∠4，
∴∠3=∠2，
∴BB′=B′F′=3，即m=3；
②当点F′落在AD上时，
∵AB∥A′B′，
∴∠6=∠2，
∵∠1=∠2，∠5=∠1，
∴∠5=∠6，
又易知A′B′⊥AD，
∴△B′F′D为等腰三角形，
∴B′D=B′F′=3，
∴BB′=BD-B′D=$\frac{25}{3}$-3=$\frac{16}{3}$，即m=$\frac{16}{3}$．
（3）存在．理由如下：
在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：
①如答图3-1所示，点Q落在BD延长线上，且PD=DQ，易知∠2=2∠Q，
∵∠1=∠3+∠Q，∠1=∠2，
∴∠3=∠Q，
∴A′Q=A′B=5，
∴F′Q=F′A′+A′Q=4+5=9．
在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ=$\sqrt{F′{Q}^{2}+F′{B}^{2}}$=$\sqrt{{9}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{10}$．
∴DQ=BQ-BD=3$\sqrt{10}$-$\frac{25}{3}$；
②如答图3-2所示，点Q落在BD上，且PQ=DQ，易知∠2=∠P，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠P，
∴BA′∥PD，则此时点A′落在BC边上．
∵∠3=∠2，
∴∠3=∠1，
∴BQ=A′Q，
∴F′Q=F′A′-A′Q=4-BQ．
在Rt△BQF′中，由勾股定理得：BF′2+F′Q2=BQ2，
即：32+（4-BQ）2=BQ2，
解得：BQ=$\frac{25}{8}$，
∴DQ=BD-BQ=$\frac{25}{3}$-$\frac{25}{8}$=$\frac{125}{24}$；
③如答图3-3所示，点Q落在BD上，且PD=DQ，易知∠3=∠4．
∵∠2+∠3+∠4=180°，∠3=∠4，
∴∠4=90°-$\frac{1}{2}$∠2．
∵∠1=∠2，
∴∠4=90°-$\frac{1}{2}$∠1．
∴∠A′QB=∠4=90°-$\frac{1}{2}$∠1，
∴∠A′BQ=180°-∠A′QB-∠1=90°-$\frac{1}{2}$∠1，
∴∠A′QB=∠A′BQ，
∴A′Q=A′B=5，
∴F′Q=A′Q-A′F′=5-4=1．
在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ=$\sqrt{F′{Q}^{2}+F′{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴DQ=BD-BQ=$\frac{25}{3}$-$\sqrt{10}$；
④如答图3-4所示，点Q落在BD上，且PQ=PD，易知∠2=∠3．
∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3，
∴∠1=∠4，
∴BQ=BA′=5，
∴DQ=BD-BQ=$\frac{25}{3}$-5=$\frac{10}{3}$．
综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q，使△DPQ为等腰三角形；
DQ的长度分别为3$\sqrt{10}$-$\frac{25}{3}$或$\frac{125}{24}$或$\frac{25}{3}$-$\sqrt{10}$或$\frac{10}{3}$．
点评 本题是几何变换压轴题，涉及旋转与平移变换、矩形、勾股定理、等腰三角形等知识点．第（3）问难度很大，解题关键是画出各种旋转图形，依题意进行分类讨论；在计算过程中，注意识别旋转过程中的不变量，注意利用等腰三角形的性质简化计算．
阶梯计算系列答案科目：初中数学 来源： 题型：选择题
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