【题目】(10分)已知∠MAN=135°,正方形ABCD绕点A旋转.
(1)当正方形ABCD旋转到∠MAN的外部(顶点A除外)时,AM,AN分别与正方形ABCD的边CB,CD的延长线交于点M,N,连接MN.
①如图1,若BM=DN,则线段MN与BM+DN之间的数量关系是 ;
②如图2,若BM≠DN,请判断①中的数量关系是否仍成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(2)如图3,当正方形ABCD旋转到∠MAN的内部(顶点A除外)时,AM,AN分别与直线BD交于点M,N,探究:以线段BM,MN,DN的长度为三边长的三角形是何种三角形,并说明理由.
【答案】(1)①MN=BM+DN;②成立;(2)直角三角形.
【解析】试题(1)①如图1,先证明△ADN≌△ABM,得到AN=AM,∠NAD=∠MAB,得到∠NAD=∠MAB=67.5°.作AE⊥MN于E,由等腰三角形三线合一的性质得出MN=2NE,∠NAE=67.5°.再证明△ADN≌△AEN,得出DN=EN,进而得到MN=BM+DN;
②如图2,先证明△ABM≌△ADP,得出AM=AP,∠1=∠2=∠3,再计算出∠PAN=135°.然后证明△ANM≌△ANP,得到MN=PN,进而得到MN=BM+DN;
(2)如图3,将△ABM绕点A逆时针旋转90°,得到△ADE,连结NE.由旋转的性质得到DE=BM,AE=AM,∠EAM=90°,∠NDE=90°. 先证明△AMN≌△AEN.得到MN=EN.由DN,DE,NE为直角三角形的三边,得到以线段BM,MN,DN的长度为三边长的三角形是直角三角形.
试题解析:(1)①如图1,若BM=DN,则线段MN与BM+DN之间的数量关系是MN=BM+DN.理由如下:
在△ADN与△ABM中,∵AD=AB,∠ADN=∠ABM,DN=BM,∴△ADN≌△ABM(SAS),∴AN=AM,∠NAD=∠MAB,∵∠MAN=135°,∠BAD=90°,∴∠NAD=∠MAB=(360°﹣135°﹣90°)=67.5°,作AE⊥MN于E,则MN=2NE,∠NAE=∠MAN=67.5°.在△ADN与△AEN中,∵∠ADN=∠AEN,∠NAD=∠NAE,AN=AN,∴△ADN≌△AEN(AAS),∴DN=EN,∵BM=DN,MN=2EN,∴MN=BM+DN.故答案为:MN=BM+DN;
②如图2,若BM≠DN,①中的数量关系仍成立.理由如下:
延长NC到点P,使DP=BM,连结AP.∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠ABM=∠ADC=90°.在△ABM与△ADP中,∵AB=AD,∠ABM=∠ADP,BM=DP,∴△ABM≌△ADP(SAS),∴AM=AP,∠1=∠2=∠3,∵∠1+∠4=90°,∴∠3+∠4=90°,∵∠MAN=135°,∴∠PAN=360°﹣∠MAN﹣(∠3+∠4)=360°﹣135°﹣90°=135°.在△ANM与△ANP中,∵AM=AP,∠MAN=∠PAN,AN=AN,∴△ANM≌△ANP(SAS),∴MN=PN,∵PN=DP+DN=BM+DN,∴MN=BM+DN;
(2)以线段BM,MN,DN的长度为三边长的三角形是直角三角形.理由如下:
如图3,将△ABM绕点A逆时针旋转90°,得到△ADE,连结NE.由旋转的性质得:DE=BM,AE=AM,∠EAM=90°,∠NDE=90°. ∵∠MAN135°,∴∠EAN360°∠MAN∠EAM =135°,∴∠EAN =∠MAN.在△AMN与△AEN中,∵AM=AE,∠MAN=∠EAN,AN=AN,∴△AMN≌△AEN.∴MN=EN.∵DN,DE,NE为直角三角形的三边,∴以线段BM,MN,DN的长度为三边长的三角形是直角三角形.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,直线BC:,直线BD与x轴交于点A,点B(2,3),点D(0,).
(1)求直线BD的函数解析式;
(2)在y轴上找一点P,使得△ABC与△ACP的面积相等,求出点P的坐标;
(3)如图2,E为线段AC上一点,连结BE,一动点F从点B出发,沿线段BE以每秒1个单位运动到点E再沿线段EA以每秒个单位运动到A后停止,设点F在整个运动过程中所用时间为t,求t的最小值.
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【题目】如图,对称轴为直线的抛物线与轴交于、两点,与轴交于点,其中点的坐标为
求该抛物线的解析式;
若点在抛物线上,且,求点的坐标;
设点是线段上的动点,作轴交抛物线于点,求线段长度的最大值.
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【题目】如图,△ABC在正方形的网格中,若点A的坐标为(﹣1,1),点B的坐标为(﹣2,0).
按要求回答下列问题:
(1)在图中建立正确的平面直角坐标系;
(2)根据所建立的坐标系,直接写出点C的坐标 ( , );
(3)作出三角形ABC关于y轴对称的三角形A1B1C1;
(4)求△ABC的周长.
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【题目】如图,已知正方形ABCD的边长为6,E,F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°,将△DAE绕点D逆时针旋转90°,得到△DCM.
(1)求证:EF=MF;
(2)若AE=2,求FC的长.
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【题目】一般地,“任意三角形都是自相似图形”,只要顺次连接三角形各边中点,则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.我们把(图乙)第一次顺次连接各边中点所进行的分割,称为阶分割(如图);把阶分割得出的个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割,称为阶分割(如图)…,依此规则操作下去.阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形(为正整数),设此时小三角形的面积为.请写出一个反映,,之间关系的等式________.
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【题目】一般地,“任意三角形都是自相似图形”,只要顺次连接三角形各边中点,则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.我们把(图乙)第一次顺次连接各边中点所进行的分割,称为阶分割(如图);把阶分割得出的个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割,称为阶分割(如图)…,依此规则操作下去.阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形(为正整数),设此时小三角形的面积为.请写出一个反映,,之间关系的等式________.
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【题目】“端午节”是我国的传统佳节,民间历来有吃“粽子”的习俗.南方某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽(以下分别用A、B、C、D表示)这四种不同口味粽子的喜爱情况,在节前对某居民区市民进行了抽样调査,毎人必选一种且只能选一种口味,并将调査情况绘制成如下两幅统计图(尚不完整):
请根据以上信息冋答:
(1)本次参加抽样调查的居民有多少人?
(2)将两幅不完整的图补充完整;
(3)求扇形统计图中C所对圆心角的度数.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,直线AB与轴交于点A,与轴交于点B,与直线OC:交于点C.
(1)若直线AB解析式为,
①求点C的坐标;
②求△OAC的面积.
(2)如图2,作的平分线ON,若AB⊥ON,垂足为E, OA=4,P、Q分别为线段OA、OE上的动点,连结AQ与PQ,试探索AQ+PQ是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,说明理由.
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