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3.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“和谐数”.如4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此4,12,20这三个数都是和谐数.
(1)36和2016这两个数是和谐数吗?为什么?
(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数),由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗?为什么?
(3)介于1到200之间的所有“和谐数”之和为2500.

分析 (1)利用36=102-82;2016=5052-5032说明36是“和谐数”,2016不是“和谐数”;
(2)设两个连续偶数为2n,2n+2(n为自然数),则“和谐数”=(2n+2)2-(2n)2,利用平方差公式展开得到(2n+2+2n)(2n+2-2n)=4(2n+1),然后利用整除性可说明“和谐数”一定是4的倍数;
(3)介于1到200之间的所有“和谐数”中,最小的为:22-02=4,最大的为:502-482=196,将它们全部列出不难求出他们的和.

解答 解:(1)36是“和谐数”,2016不是“和谐数”.理由如下:
36=102-82;2016=5052-5032

(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(n为自然数),
∵(2k+2)2-(2k)2=(2k+2+2k)(2k+2-2k)
=(4k+2)×2
=4(2k+1),
∵4(2k+1)能被4整除,
∴“和谐数”一定是4的倍数;

(3)介于1到200之间的所有“和谐数”之和,
S=(22-02)+(42-22)+(62-42)+…+(502-482)=502=2500.
故答案是:2500.

点评 本题考查了因式分解的应用:利用因式分解把所求的代数式进行变形,从而达到使计算简化.

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