【题目】如图1,已知AB⊥CD,C是AB上一动点,AB=CD
(1)在图1中,将BD绕点B逆时针方向旋转90°到BE,若连接DE,则△DBE为等腰直角三角形;若连接AE,试判断AE与BC的数量和位置关系并证明;
(2)如图2,F是CD延长线上一点,且DF=BC,直线AF,BD相交于点G,∠AGB的度数是一个固定值吗?若是,请求出它的度数;若不是,请说明理由.
【答案】(1)AE=BC,AE⊥BC,证明见解析;(2)∠AGB的度数是固定值,度数为45°.
【解析】
(1)结论:AE=BC,AE⊥BC.根据角的和差关系可得∠ABE=∠BDC,利用SAS证明△ABE≌△BDC,再利用全等三角形的性质得出AE=BC,∠BAE=∠BCD=90°,即可解决问题;
(2)如图,作AE⊥AB于A,使AE=BC,连结DE,BE.利用SAS可证明△ABE≌△BDC,再利用全等三角形的性质得出BE=BD,∠EBD=90°,可得出∠EDB=∠AGB=45°.即可得答案.
(1)结论:AE=BC,AE⊥BC.理由如下:
∵AB⊥CD,将BD绕点B逆时针方向旋转90°到BE,
∴∠BCD=∠EBD=90°,
∴∠ABE+∠DBC=90°,∠DBC+∠BDC=90°,
∴∠ABE=∠BDC,
在△ABE和△CDB中,,
∴△ABE≌△CDB(SAS),
∴AE=BC,∠BAE=∠BCD=90°,
∴AE⊥BC,
∴AE与BC的数量和位置关系是AE=BC,AE⊥BC.
(2)∠AGB的度数是固定值,∠AGB=45°.理由如下:
如图,作AE⊥AB于A,使AE=BC,连结DE,BE.
∵AE⊥AB,∠BCD=90°,
∴∠BAE=∠BCD=90°,
在Rt△BAE和Rt△DCB中,,
∴△BAE≌△DCB(SAS),
∴BE=BD,∠ABE=∠BDC,
∵∠BDC+∠DBC=90°,
∴∠ABE+∠DBC=90°,
∴∠EBD=90°,
∴△BED是等腰直角三角形,
∴∠EDB=45°
∵∠BAE=∠ACD=90°,
∴AE∥DF,
∵AE=BC,BC=DF,
∴AE=DF,
∴四边形AFDE是平行四边形,
∴AF∥DE
∴∠AGB=∠EDB=45°.
∴∠AGB的度数是固定值,∠AGB=45°.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,点D是边AC上一点,BC=BD=AD,则∠A的大小是( ).
A. 36° B. 54° C. 72° D. 30°
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【题目】如图,在已知的△ABC中,按以下步骤作图:①分别以A,B为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧相交于两点EF;②作直线EF交BC于点D连接AD.若AD=AC,∠C=40°,则∠BAC的度数是( )
A.105°B.110°C.I15°D.120°
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【题目】如图,点O为矩形ABCD的对称中心,AB=4cm,BC=6cm,点E、F、G 分别从A、B、C三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向匀速运动,点E的运动速度为1cm/s,点G的运动速度为2cm/s,当点F到达点C(即点F与点C重合)时,三个点随之停止运动.在运动过程中,△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F.设点E、F、G运动的时间为t(单位:s).
(1)若点F的运动速度为2 cm/s.
①当t=______s时,四边形EBFB′为正方形;
②若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似,求t的值;
(2)若存在实数t,使得点B′与点O重合,求出t的值;并求出点F的运动速度.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,3),B(2,5),C(4,2)(每个方格的边长均为1个单位长度)
(1)将△ABC平移,使点A移动到点A1,请画出△A1B1C1;
(2)作出△ABC关于O点成中心对称的△A2B2C2,并直接写出A2,B2,C2的坐标;
(3)△A1B1C1与△A2B2C2是否成中心对称?若是,请写出对称中心的坐标;若不是,请说明理由.
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【题目】如图,直线y=kx+b分别交x轴、y轴于A(1,0)、B(0,﹣1),交双曲线y=于点C、D.
(1)求k、b的值;
(2)写出不等式kx+b>的解集.
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【题目】如图,半圆O的直径AC=2,点B为半圆的中点,点D在弦AB上,连结CD,作BF⊥CD于点E,交AC于点F,连结DF,当△BCE和△DEF相似时,BD的长为_____.
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【题目】如图,梯形AOBC的顶点A,C在反比例函数图象上,OA∥BC,上底边OA在直线y=x上,下底边BC交y轴于B(0,﹣4),则四边形AOBC的面积为_____.
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