【题目】如图1,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(﹣1,0),B(4,0)两点,与y轴相交于点C,连结BC,点P为抛物线上一动点,过点P作x轴的垂线l,交直线BC于点G,交x轴于点E.
(1)求抛物线的表达式;
(2)当P位于y轴右边的抛物线上运动时,过点C作CF⊥直线l,F为垂足,当点P运动到何处时,以P,C,F为顶点的三角形与△OBC相似?并求出此时点P的坐标;
(3)如图2,当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时,连结PC,PB,请问△PBC的面积S能否取得最大值?若能,请求出最大面积S,并求出此时点P的坐标,若不能,请说明理由.
【答案】
(1)
解:将点A(﹣1,0),B(4,0)的坐标代入函数的表达式得: ,
解得:b=3,c=4.
抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4.
(2)
解:如图1所示:
∵令x=0得y=4,
∴OC=4.
∴OC=OB.
∵∠CFP=∠COB=90°,
∴FC=PF时,以P,C,F为顶点的三角形与△OBC相似.
设点P的坐标为(a,﹣a2+3a+4)(a>0).
则CF=a,PF=|﹣a2+3a+4﹣4|=|a2﹣3a|.
∴|a2﹣3a|=a.
解得:a=2,a=4.
∴点P的坐标为(2,6)或(4,0).
(3)
解:如图2所示:连接EC.
设点P的坐标为(a,﹣a2+3a+4).则OE=a,PE=﹣a2+3a+4,EB=4﹣a.
∵S四边形PCEB= OBPE= ×4(﹣a2+3a+4),S△CEB= EBOC= ×4×(4﹣a),
∴S△PBC=S四边形PCEB﹣S△CEB=2(﹣a2+3a+4)﹣2(4﹣a)=﹣2a2+8a.
∵a=﹣2<0,
∴当a=2时,△PBC的面积S有最大值.
∴P(2,6),△PBC的面积的最大值为8
【解析】(1)将点A(﹣1,0),B(4,0)的坐标代入抛物线的解析式,求得b、c的值即可;(2)先由函数解析式求得点C的坐标,从而得到△OBC为等腰直角三角形,故此当CF=PF时,以P,C,F为顶点的三角形与△OBC相似.
设点P的坐标为(a,﹣a2+3a+4).则CF=a,PF=﹣a2+3a,接下来列出关于a的方程,从而可求得a的值,于是可求得点P的坐标;(3)连接EC.设点P的坐标为(a,﹣a2+3a+4).则OE=a,PE=﹣a2+3a+4,EB=4﹣a.然后依据S△PBC=S四边形PCEB﹣S△CEB列出△PBC的面积与a的函数关系式,从而可求得三角形的最大面积.
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【题目】如图,正方形ABCD中,M为BC上一点,ME⊥AM,ME交AD的延长线于点E.若AB=12,BM=5,则DE的长为( )
A.18
B.
C.
D.
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【题目】如图1,对称轴为直线x= 的抛物线经过B(2,0)、C(0,4)两点,抛物线与x轴的另一交点为A
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P为第一象限内抛物线上的一点,设四边形COBP的面积为S,求S的最大值;
(3)如图2,若M是线段BC上一动点,在x轴是否存在这样的点Q,使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】在学校组织的游艺会上,投飞标游艺区游戏区规则如下,如图投到A区和B区的得分不同,A区为小圆内部分,B区为大圆内小圆外部分(掷中一次记一个点)现统计小华、小明和小芳掷中与得分情况如图所示.
(1)求掷中A区、B区一次各得多少分?
(2)依此方法计算小明的得分为多少分?
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【题目】如图,已知△ABC是等边三角形,点D、E分别在边BC、AC上,且CD=CE,连接DE并延长至点F,使EF=AE,连接AF,CF,连接BE并延长交CF于点G.下列结论: ①△ABE≌△ACF;②BC=DF;③S△ABC=S△ACF+S△DCF;④若BD=2DC,则GF=2EG.其中正确的结论是 . (填写所有正确结论的序号)
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【题目】如图,AB∥CD,EF与AB、CD分别相交于点E、F,EP⊥EF,与∠EFD的平分线FP相交于点P,且∠BEP=50°,则∠EPF=( )度.
A.70
B.65
C.60
D.55
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【题目】阅读材料:
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等, = = ,利用上述结论可以求解如下题目:
在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a,b,c.若∠A=45°,∠B=30°,a=6,求b.
解:在△ABC中,∵ = ∴b= = = =3 .
理解应用:
如图,甲船以每小时30 海里的速度向正北方向航行,当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处,且乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行,当甲船航行20分钟到达A2时,乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处,此时两船相距10 海里.
(1)判断△A1A2B2的形状,并给出证明;
(2)求乙船每小时航行多少海里?
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点E、F分别在边CD、AB上.
(1)若DE=BF,求证:四边形AFCE是平行四边形;
(2)若四边形AFCE是菱形,求菱形AFCE的周长.
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