如图1.在平面直角坐标系xOy中.点A.B.以AB为直径的⊙G交y轴于C.D两点．(1)填空:请直接写出⊙G的半径r.圆心G的坐标:r=2$\sqrt{3}$,G, (2)如图2.直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+5与x.y轴分别交于F.E两点.且经过圆上一点T.求证:直线EF是⊙G的切线．的条件下.如图3.点M是⊙G优弧$\widehat{TBA}$上的一� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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1．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（-$\sqrt{3}$，0），B（3$\sqrt{3}$，0），以AB为直径的⊙G交y轴于C、D两点．
（1）填空：请直接写出⊙G的半径r、圆心G的坐标：r=2$\sqrt{3}$；G（$\sqrt{3}$，0）；
（2）如图2，直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+5与x，y轴分别交于F，E两点，且经过圆上一点T（2$\sqrt{3}$，m），求证：直线EF是⊙G的切线．
（3）在（2）的条件下，如图3，点M是⊙G优弧$\widehat{TBA}$上的一个动点（不包括A、T两点），连接AT、CM、TM，CM交AT于点N．试问，是否存在一个常数k，始终满足CN•CM=k？如果存在，求出k的值，如果不存在，请说明理由．

分析（1）求出直径AB，即可解决问题；
（2）如图2中，连接GT，过点T作TH⊥x轴于H，根据特殊角三角函数求出∠GTH，∠HTF即可解决问题；
（3）如图3中，连接CG、TG、TC．首先证明△GCT是等边三角形，由△CNT∽△CTM，推出$\frac{CN}{CT}$=$\frac{CT}{CM}$，推出CN•CM=CT²，即可解决问题；

解答解：（1）∵A（-$\sqrt{3}$，0），B（3$\sqrt{3}$，0），AB是直径，
∵AB=4$\sqrt{3}$，
∴⊙G的半径为2$\sqrt{3}$，G（$\sqrt{3}$，0），
故答案为r=2$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，0．

（2）如图2中，连接GT，过点T作TH⊥x轴于H，

∵直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+5与x、y轴交于E、F两点，则E（0，5），F（5$\sqrt{3}$，0），
∵直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+5经过T（2$\sqrt{3}$，m），则m=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×2$\sqrt{3}$+5=3，
∴T（2$\sqrt{3}$，3），
故TH=3．GH=$\sqrt{3}$，HF=3$\sqrt{3}$，
在Rt△HGT中，GT=r=2$\sqrt{3}$，
∴GH=$\frac{1}{2}$GT，
∴∠GTH=30°，
在Rt△THF中，tan∠FTH=$\frac{HF}{TH}$=$\frac{3\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴∠FTH=60°，
∴∠GTF=∠GTH+∠HTF=30°+60°=90°，
∴GT⊥EF，
∴直线EF是⊙G的切线．

（3）如图3中，连接CG、TG、TC．

在Rt△COG中，OG=$\sqrt{3}$，CG=r=2$\sqrt{3}$，
∴OC=3，∠CGO=60°．
∵C（0，3），T（2$\sqrt{3}$，3），
∴CT∥x轴，
∴CT=2$\sqrt{3}$，即CT=CG=GT=2$\sqrt{3}$，
∴△CGT是等边三角形，
∴∠CGT=∠TCG=∠CGA=60°，
∴∠CTA=$\frac{1}{2}$∠CGA=30°，∠M=$\frac{1}{2}$∠CGT=30°，
∴∠CTA=∠M，
在△CNT和△CTM中，
∵∠TCN=∠MTC，∠CTN=∠M，
∴△CNT∽△CTM，
∴$\frac{CN}{CT}$=$\frac{CT}{CM}$，
∴CN•CM=CT²=（2$\sqrt{3}$）²=12．
∴k=CN•CM=12．

点评本题考查圆综合题、切线的性质、锐角三角函数、等边三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线解决问题，属于中考压轴题．

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