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如图,将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,使点B落到点B′的位置,AB′与CD交于点E.
(1)试找出一个与△AED全等的三角形,并加以证明.
(2)若AB=8,DE=3,P为线段AC上的任意一点,PG⊥AE于G,PH⊥EC于H,PG+PH的值会变化吗?若变化,请说明理由; 若不变化,请求出这个值.
分析:(1)由四边形ABCD是矩形与折叠的性质,易证得△EAC是等腰三角形,即EA=EC,然后由AAS即可证得△CEB′≌△AED;
(2)由△CEB′≌△AED,可得EB′=DE=3,又由AB=8,即可求得AE的长,然后在Rt△ADE中,利用勾股定理即可求得AD的长;再过点P作PK⊥AB于K,由角平分线的性质,可得PK=PG,易证得四边形ADHK是矩形,继而可求得答案.
解答:解:(1)△CEB′≌△AED;
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,
∴∠ECA=∠CAB,∠D=∠B=90°,
由折叠的性质得:∠EAC=∠CAB,∠B′=∠B,
∴∠EAC=∠ECA,∠B′=∠D,
∴EA=EC,
在△AED和△CEB′中,
∠D=∠B′
∠DEA=∠B′EC
EA=EC

∴△CEB′≌△AED(AAS);

(2)PG+PH的值不变.
∵△CEB′≌△AED,
∴EB′=DE=3,
∵AB′=AB=8,
∴AE=AB′-EB′=8-3=5,
在Rt△ADE中,AD=
AE2-DE2
=4,
过点P作PK⊥AB于K,
∵∠B′AC=∠BAC,PG⊥AE,
∴PG=PK,
∵PH⊥CD,AB∥CD,
∴PH⊥AB,
∴H,P,K共线,
∵∠D=∠KHD=∠HKA=90°,
∴四边形ADHK是矩形,
∴HK=AD=4,
∴PG+PH=PK+PH=HK=4.
点评:此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题难度较大,注意掌握折叠前后图形的对应关系,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
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23、如图,将矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点A与点C重合,点D落在点G处,EF为折痕.
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如图①,将矩形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,点C落在点c'处,折痕为EF,若∠ABE=20°,那么∠EFC'的度数为
 

(2)观察发现:
小明将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠,使得AC落在AB边上,折痕为AD,展开纸片(如图②);再次折叠该三角形纸片,使点A和点D重合,折痕为EF,展平纸片后得到△AEF(如图③).小明认为△AEF是等腰三角形,你同意吗?请说明理由.
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(3)实践与运用:
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(1)小明将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠,使得AC落在AB边上,折痕为AD,展开纸片(如图①);再次折叠该三角形纸片,使点A和点D重合,折痕为EF,展平纸片后得到△AEF(如图②).你认为△AEF是什么形状的三角形?为什么?
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实践与运用:
如图,将矩形纸片ABCD按如下顺序进行折叠:对折、展平,得折痕EF(如图①);沿GC折叠,使点B落在EF上的点B′处(如图②);展平,得折痕GC(如图③);沿GH折叠,使点C落在DH上的点C′处(如图④);沿GC′折叠(如图⑤);展平,得折痕GC′、GH(如图⑥).
(2)在图②中连接BB′,判断△BCB′的形状,请说明理由;
(3)图⑥中的△GCC′是等边三角形吗?请说明理由.
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