Question

已知AB是半径为1的圆O的弦，且AB的长为方程x²+x-1=0的正根，则∠AOB=

 

．

Answer 1

分析：本题需先过点O作OD⊥AB，再根据AB的长为方程x²+x-1=0的正根，求出AD的长，再在Rt△AOD中，求出Sin∠AOD的值，从而求出∠AOB的度数．

解答：解：过点O作OD⊥AB，
则AD=

1

2

AB，
∵x²+x-1=0，
∴（x+

1

2

）²=

5

4

，
∴x₁=

5 -1

2

，x₂=

- 5 -1

2

；
∴方程x²+x-1=0的正根为

5 -1

2

，
∴AB=

5 -1

2

，
∴AD=

1

2

AB，
=

5 -1

4

，
在Rt△AOD中，
sin∠AOD=

AD

OA

，
=

5 -1

4

，
∴∠AOD=18°，
∴∠AOB=36°．
故答案为：36°．

点评：此题是一个综合性很强的题目，主要考查等腰三角形的性质、解直角三角形等知识．难度适中，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．