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【题目】阅读下面材料,完成(1)~(3)题.

数学课上,老师出示了这样一道题:

如图1,△ABC中,ACBCa,∠ACB90°,点DAB上,且ADkAB(其中0k),直线CD绕点D顺时针旋转90°与直线CB绕点B逆时针旋转90°后相交于点E,探究线段DCDE的数量关系,并证明.

同学们经过思考后,交流了自己的想法:

小明:“通过观察和度量,发现DCDE相等”;

小伟:“通过构造全等三角形,经过进一步推理,可以得到DCDE相等”

小强:“通过进一步的推理计算,可以得到BEBC的数量关系”

老师:“保留原题条件,连接CEAB于点O.如果给出BODO的数量关系,那么可以求出COEO的值”

1)在图1中将图补充完整,并证明DCDE

2)直接写出线段BEBC的数量关系   (用含k的代数式表示);

3)在图2中将图补充完整,若BODO,求COEO的值(用含a的代数式表示).

【答案】(1)证明见解析;(2)BE=(12kBC;(3

【解析】

1)作DMBCMDNBEN,则∠DMC=DNE=90°,由等腰直角三角形的性质得出∠ABC=45°AB=BC=a,由旋转的性质得∠CDE=CBE=90°,则∠DBE=45°,∠MDN=90°,∠CDM=EDN,∠ABC=ABE,由角平分线的性质得出DM=DN,由ASA证得CDM≌△EDNASA),即可得出结论;
2)由(1)得CDM≌△EDN,则CM=EN,易证四边形BMDN是矩形,BDM是等腰直角三角形,证明四边形BMDN是正方形,得出BM=BN,推出BC+BE=BM+CM+BM-CM=2BM=BDBD=AB-AD=1-kAB=1-kBC,则BC+BE=BD=21-kBC,即可得出结果;
3)由∠CDE+CBE=90°+90°=180°,得出BCDE四点共圆,得出COEO=DOBO,即可得出结果.

解:(1)将图补充完整,如图1所示:

DMBCMDNBEN

则∠DMC=∠DNE90°

ACBCa,∠ACB90°

∴∠ABC45°ABBC

由旋转的性质得:∠CDE=∠CBE90°

∴∠DBE90°45°45°,∠MDN90°

∴∠CDM=∠EDN,∠ABC=∠ABE

DMBCMDNBEN

DMDN

CDMEDN中,

∴△CDM≌△EDNASA),

DCDE

2BE=(12kBC,理由如下:

由(1)得:CDM≌△EDN

CMEN

∵∠CBE90°DMBCDNBE

∴四边形BMDN是矩形,

∵∠ABC45°

∴△BDM是等腰直角三角形,

DMBMBMBD

∴四边形BMDN是正方形,

BMBN

BCBM+CM

BC+BEBM+CM+BMCM2BMBD

ADkAB

BDABAD=(1kAB=(1kBC

BC+BEBD21kBC

整理得:BE=(12kBC

故答案为:BE=(12kBC

3)将图补充完整,如图2所示:

∵∠CDE+CBE90°+90°180°

BCDE四点共圆,

COEODOBO

BODO

COEODOBODO2×BD2×2×[1ka]2

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.

直接开平方并整理,得.

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(1)下面是晓东用“平均数法”解方程时写的解题过程.

.

.

直接开平方并整理,得.

上述过程中的“□”,“○”,“☆”,“¤”表示的数分别为________,________,________,________.

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