Question

已知：如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．
（1）求∠PCQ的度数；
（2）求证：∠APB=∠QPC．

Answer 1

分析：（1）首先求得∠QCE，然后根据等边三角形的性质，可得∠PCQ=60°-∠QCP即可求解；
（2）根据矩形的性质可以证得四边形ABCD是矩形AB=DC，则AB=QC．即可证得△PBA≌△PCQ，根据全等三角形的性质即可证得．

解答：（1）解：∵△PBC是等边三角形，
∴∠PCB=60°，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB=90°，
∴∠DCP=30°，（1分）
同理∠QCB=30°∠ABP=30°，
∴∠PCQ=30°，（2分）

（2）证明：∵△PBC是等边三角形，
∴PB=PC，
∵△QCD是等边三角形，
∴CD=QC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，
∴AB=QC，（3分）
在△PBA和△PCQ中

BP=PC ∠PBA=∠PCQ AB=CQ

，
∴△PBA≌△PCQ（SAS），（4分）
∴∠APB=∠QPC．（5分）

点评：本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，正确证明△PBA≌△PCQ是解题的关键．