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(2008•岳阳)如图,点E(-4,0),以点E为圆心,2为半径的圆与x轴交于A、B两点,抛物线y=x2+bx+c过点A和点B,与y轴交于C点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求出点C的坐标,并画出抛物线的大致图象;
(3)点Q(m,)(m<0)在抛物线y=x2+bx+c的图象上,点P为此抛物线对称轴上的一个动点,求PQ+PB的最小值;
(4)CF是圆E的切线,点F是切点,在抛物线上是否存在一点M,使△COM的面积等于△COF的面积?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】分析:(1)根据题意可得点A,B的坐标,将点A,B的坐标代入二次函数的解析式即可求得;
(2)抛物线与y轴的交点横坐标为0,代入求得纵坐标,可得点C的坐标,求得顶点坐标,对称轴即可画草图;
(3)根据两点之间线段最短可得:Q(m,),∴=m2+m+2整理为m2+8m-20=0,即m1=2,m2=-10.因m<0,则m=-10,∴Q(-10,).∵y=(x+4)2-,又∵A(-2,0)与B(-6,0)关于x=-4对称,则PQ+PB的最小值就是QA的长度,求解即可;
(4)根据全等的知识,利用三角函数,借助于方程求解即可.
解答:解:(1)∵⊙E的半径为2,
∴点E的坐标为(-4,0)易知A(-2,0),B(-6,0)
∵抛物线过点A和B,

解得
∴抛物线的解析式为y=x2+x+2;(2分)

(2)∵抛物线y=x2+x+2与y轴交于点C,
令x=0,y=×02+×0+2=2,
∴C(0,2)
作图象如右;(4分)(未作图的给3分)

(3)∵Q(m,),
=m2+m+2
整理为m2+8m-20=0,
即m1=2,m2=-10
∵m<0,则m=-10
∴Q(-10,)(5分)
∵y=(x+4)2-
又∵A(-2,0)与B(-6,0)
关于x=-4对称,则PQ+PB的最小值就是QA的长度
∴PQ+PB=PA+PQ=QA=;(6分)

(4)解法一:连接EF,
∵EF=2,在Rt△COD与Rt△EFD中,EF=CO=2
又∵∠CDO=∠EDF,
∴Rt△COD≌Rt△EFD
设OD=-x,则ED=CD=4+x,在Rt△COD中22+(-x)2=(4+x)2,则XF=-1.5
∴CD=4-1.5=2.5,设∠OCD=∠1,则sin∠1=
设X1
又∵CF==4,
=sin∠1,

∴a=-=-2.4(8分)
又S△COF=S△COM
∵CO=CO,三角形同底则只要高相等,则S△COF=S△COM
∴xM=XF或XM=-XF
故存在xM1=2.4或xM2=-2.4
yM1=×-2.42+x-2.4+2=-0.24,
yM2=×2.42+×2.4+2=6.16
∴M的坐标为M1(-2.4,-0.24),M2(2.4,6.16)(10分)
解法二:如图过F点作y轴的垂线交y轴于G点,由△COD≌△EFD?CD=ED
设OD=xED=CD=4-x,
则有(4-x)2-x2=22?x=1.5又CF==4(7分)
又∵Rt△COD≌Rt△EFD,CD=DE,OD=DF
=2.4(8分)
若S△COF=S△COM,故M点到底边CO的高为2.4,则存在xM1=2.4或xM2=-2.4
当xM1=-2.4时,yM1=×(-2.4)2+×(-2.4)+2=-0.24,
∴M1(-2.4,-0.24)xM2=2.4时,×2.4+2=6.16,
∴M2(2.4,6.16)(10分)
如果有其它不同解法,可依据解法一或解法二的得分标准给分.
点评:此题考查了圆与二次函数的综合知识,是中考中难度较大的题目;解题时要注意审题,理解题意;特别是要注意数形结合思想与方程思想的应用.
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