如图.在Rt△ABC中.∠A＝90°.AB＝3 cm.AC＝4 cm． (1)以斜边BC上距离C点2 cm的点P为中心.把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF.并且DF交AC于点N.EF交AC于点M.则△NMF与△ABC的形状关系为 , 的条件下.求旋转后△DEF与△ABC重叠部分的面积S, (3)以斜边BC上距离C点x cm的点P为中心.把这个三角形按逆时针� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3 cm，AC＝4 cm．

(1)以斜边BC上距离C点2 cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，并且DF交AC于点N，EF交AC于点M，则△NMF与△ABC的形状关系为________；

(2)在(1)的条件下，求旋转后△DEF与△ABC重叠部分的面积S；

(3)以斜边BC上距离C点x cm的点P为中心(P不是B、C)，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，设△DEF与△ABC重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．

答案：
解析：

　　解：(1)相似；　　1分

　　(2)∵绕点P旋转90°，根据旋转变换的性质，

　　EF⊥BC于P，从而得Rt△COM，

　　且Rt△CPM∽Rt△CAB，△CPM≌△FPQ．　　2分

　　由勾股定理可求得BC＝2 cm．　　3分

　　∵CP＝2 cm，且FP＝CP＝2 cm(旋转后的对应线段相等)．　　分

　　由△CPM∽△CAB，得，即，

　　得PM＝；FM＝FP－PM＝2－＝，　　5分

　　由△FPQ∽△FDE得，∴PQ＝，　　6分

　　∴S_△ＦＱＰ＝FP·PQ＝·2·＝－．　　7分

　　由△FNM∽△CAB，

　　得，∴FN＝；同样，，得NM＝，

　　从而得S_△ＦＭＮ＝FN·NM＝··＝，　　8分

　　∴重叠部分的面积S＝S_△ＦＱＰ－S_△ＦＮＭ

　　＝S_△ＣＭＰ－S_△ＦＮＭ＝·2·－＝；　　9分

　　(3)点P从C点逐渐向B移动时，有三种情况，

　　它是由BC上的三段组成的P点的三个取值范围，

　　见下图所示，即P在CP_１上、P在P_１P_２上、

　　P在P_２B上这三段．其中的P_１、P_２是两个特殊的位置：P_１的位置是FD与AB有部分重合；

　　P_２的位置是FE过A点．

　　下面先求出CP_１的长．

　　对于图2中的P_１位置，即是下图1中，当AN＝0时的情况．

　　由PC＝x及△FNM∽△CPM∽△CAB，可得MC＝x，

　　MN＝x，∴NC＝NM＋MC＝x＋x＝x，

　　从而AN＝AC－NC＝4－x，

　　由AN＝0，解得x＝；　　10分

　　对于图2中点P_２的位置，容易求得P_２C＝．　　11分

　　当P在CP_１间，即0＜x≤时，

　　y＝S_⊿ＦＰＱ－S_⊿ＦＮＭ＝S_⊿ＣＰＭ－S_⊿ＦＮＭ

　　＝PC·MP－FN·NM

　　＝x·x－·x·x＝；　　12分

　　②当P在P_１P_２间，即＜x≤时，

　　y＝S_⊿ＡBC－S_⊿ＣＰＭ＝6－·x·x＝6－；　　13分

　　③当P在P_２B间，即＜x＜5时，

　　y＝D_SＭＰＢ＝·(5－x)·(5－x)

　　＝．　　14分

　　故：当0＜x≤时，y＝；当＜x≤时，y＝6－；当＜x＜5时，y＝．

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