Question

如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D的切线交BC于E．
（1）求证：DE=

1

2

BC；
（2）若tanC=

5

2

，DE=2，求AD的长．

Answer 1

（1）证明：连接BD，
∵AB是直径，∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切线，∠BDC=90°．
∵DE是⊙O的切线，
∴DE=BE（切线长定理）．
∴∠EBD=∠EDB．
又∵∠DCE+∠EBD=∠CDE+∠EDB=90°，
∴∠DCE=∠CDE，
∴DE=CE．
故DE=

1

2

BC．

（2）由（1）知，BC=2DE=4．
在Rt△ABC中，AB=BCtanC=4×

5

2

=2

5

，
AC=

AB2+BC2

=6．
∵∠ADB=∠ABC=90°，∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB．
∴

AD

AB

=

AB

AC

，
∴

AD

2 5

=

2 5

6

．
解得AD=

10

3

．