Question

在直角坐标系中，点A，B，C，D的坐标依次是（1，0），（a，b），（1，6），（m，n），要使四边形ABCD为菱形（A，B，C，D按逆时针排列），且面积为24，求B，D两点的坐标．

Answer 1

解：∵四边形ABCD为菱形，
∴对角线AC⊥BD，且CE=AE；
∵A，C的坐标依次是（1，0），（1，6），
∴A、C在平行于y轴的直线x=1上，且E（1，3）
∴B、D、E应该在平行于x轴的直线上；
∵B，D的坐标依次是（a，b），（m，n），
∴b=n=3；
又∵菱形ABCD的面积是24，
∴S_菱形ABCD=BD•AC=|m-a|•（6-0）=24，即|m-a|=8；
又∵DE=BE，
∴|m-1|=|a-1|=|m-a|=4；
又∵A，B，C，D按逆时针排列（如图所示），
∴m=5，a=-3，
∴B（5，3）、D（-3，3）．
分析：由点A，C的坐标知点A、C在平行于y轴的直线x=1上，根据菱形的性质：对角线相互垂直且平分，来求点E的坐标为（1，3）及B、D、应该在平行于x轴的直线上；然后根据菱形的面积公式S_菱形ABCD=BD•AC及两点间的距离公式求得
BD=8；最后根据两点间的距离公式求得DE=BE=4，即|m-1|=|a-1|=|m-a|=4，所以m=5，a=-3，从而求得B、D两点的坐标．
点评：本题考查了是菱形的性质、点的坐标与图形性质．解题时，采用了“数形结合”的数学思想，通过菱形的对角线互相垂直平分及两点间的距离公式来求得B、D两点的坐标．