Question

如图，在四边形ABCD中，AD=DC=1，∠DAB=∠DCB=90°，BC和AD的延长线交于P，求AB•S_△PAB的最小值．

Answer 1

分析：设PD=x（x＞1），根据勾股定理求出PC，证Rt△PCD∽Rt△PAB，得到

AB

CD

=

PA

PC

，求出AB，根据三角形的面积公式求出y=AB•S_△PAB，整理后得到y≥4，即可求出答案．

解答：解：设PD=x（x＞1），则由勾股定理得：PC=

x2-1

，
∵∠P=∠P，∠PCD=∠A=90°，
∴Rt△PCD∽Rt△PAB，
∴

AB

CD

=

PA

PC

，
∴AB=

CD•PA

PC

=

x+1

x2-1

，
设y=AB•S_△PAB，代入可得y=

(x+1)3

2(x2-1)

=

(x+1)2

2(x-1)

，
去分母，得x²+2（1-y）x+1+2y=0，
因为x是实数，所以△=4（1-y）²-4（1+2y）=4y（y-4）≥0，
又因为y＞0，所以y≥4．即y的最小值为4，故当PD=3时，AB•S_△PAB的最小值为4．
答：AB•S_△PAB的最小值是4．

点评：本题主要考查对三角形的面积，相似三角形的性质和判定，勾股定理，面积和等积变形等知识点的理解和掌握，能求出方程x²+2（1-y）x+1+2y=0中y的最小值是解此题的关键．