Question

【题目】已知线段AB，如果将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，则称点C为线段AB关于点A的逆转点．点C为线段AB关于点A的逆转点的示意图如图1：

（1）如图2，在正方形ABCD中，点_____为线段BC关于点B的逆转点；

（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，0），且x＞0，点E是y轴上一点，点F是线段EO关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，过逆转点G，F的直线与x轴交于点H．

①补全图；

②判断过逆转点G，F的直线与x轴的位置关系并证明；

③若点E的坐标为（0，5），连接PF、PG，设△PFG的面积为y，直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）A；（2）①补图见解析；②GF⊥x轴；证明见解析；③y=．

【解析】

（1）根据点C为线段AB关于点A的逆转点的定义判断即可．

（2）①按题干定义补图即可．

②结论：GF⊥x轴．证明△GEF≌△PEO（SAS），推出∠GFE＝∠EOP＝90°可得结论．

③分两种情形：如图4﹣1中，当0＜x＜5时，如图4﹣2中，当x＞5时，分别利用三角形的面积公式求解即可．

解：（1）由题意，点A是线段AB关于点B的逆转点，

故答案为A．

（2）①图形如图3所示．

②结论：GF⊥x轴．

理由：∵点F是线段EF关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，

∴∠OEF＝∠PEG＝90°，EG＝EP，EF＝EO，

∴∠GEF＝∠PEO，

∴△GEF≌△PEO（SAS），

∴∠GFE＝∠EOP，

∵OE⊥OP，

∴∠POE＝90°，

∴∠GFE＝90°，

∵∠OEF＝∠EFH＝∠EOH＝90°，

∴四边形EFHO是矩形，

∴∠FHO＝90°，

∴FG⊥x轴．

③如图4﹣1中，当0＜x＜5时，

∵E（0，5），

∴OE＝5，

∵四边形EFHO是矩形，EF＝EO，

∴四边形EFHO是正方形，

∴OH＝OE＝5，

∴y＝FGPH＝x（5﹣x）＝﹣x2+x．

如图4﹣2中，当x＞5时，

y＝FGPH＝x（x﹣5）＝x2﹣x．

综上所述，y=．