Question

【题目】如图，在中，，将绕点顺时针旋转45°，得到，点关于直线的对称点为，连接交直线于点，连接．

（1）根据题意补全图形；

（2）判断的形状，并证明；

（3）连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

温馨提示：在解决第（3）问的过程中，如果你遇到困难，可以参考下面几种解法的主要思路．

解法1的主要思路：

延长至点，使，连接，可证，再证是等腰直角三角形．

解法2的主要思路：

过点作于点，可证是等腰直角三角形，再证．

解法3的主要思路：

过点作于点，过点作于点，设，，用含或的式子表示，．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）是等腰直角三角形； 证明见解析．（3）；证明见解析．

【解析】

(1)根据题目意思补全图形即可；

(2)根据旋转的性质得到，再根据点与关于直线对称得到，即可证明是等腰直角三角形；

(3)解法一：延长至点，使，连接，可证，再证是等腰直角三角形，进而得到答案．

解法二：过点作于点，可证是等腰直角三角形，再证进而得到答案．

解法三：过点作于点，过点作于点，设，，用含或的式子表示，进而得到答案．

（1）正确补全图形：

（2）是等腰直角三角形；

证明：∵将绕点顺时针旋转45°，

∴，

∵点与关于直线对称，

∴，．

∴．

∴是等腰直角三角形．

（3）；

解法1证明：延长至点，使，连接，．

∵是等腰直角三角形，，

∴，．

∵，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴，．

∴．

即．

∴是等腰直角三角形．

∴．

即．

解法2证明：过点作于点，取中点，连接，．

设，，

∵，

∴．

∴，．

在中，

∵，

∴．

∴．

即．

∵，

∴．

∴．

∵，

∴.

∴．

∴．

又∵．

∴．

解法3证明：过点作于点，过作于点，

∴．

即．

∵．

∴．

∵，

∴．

∴．

同解法2，可证．

设，，

∴，．

∴．