Question

18．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点O在AB的延长线上，OB=2$\sqrt{3}$，∠AOE=60°．动点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿射线OE方向运动，以P为圆心，OP为半径做⊙P．同时点Q从点B出发，以每秒1个单位的速度沿折线B-C-D向点D运动，Q与D重合时，P、Q同时停止运动．设P的运动时间为t秒．
（1）∠BOC=30°，PA的最小值是2$\sqrt{3}$+3；
（2）当⊙P过点C时，求⊙P与线段OA围成的封闭图形的面积；
（3）当⊙P与矩形ABCD的边所在直线相切时，求t的值；

Answer 1

分析 （1）在直角△OBC中，先根据锐角的正切求∠BOC的度数；根据垂线段最短可知：当AP⊥OP时，PA的值最小，根据三角函数求AP的最小值；
（2）如图2，作辅助线，构建矩形PCBN，确定⊙P与线段OA围成的封闭图形是大弓形OM和小严凯弓形OM，根据扇形面积减去三角形面积可得结论；
（3）分三种情况：
①当⊙P与矩形ABCD的边BC相切时，是（2）问中的情况，此时t=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
②当⊙P与矩形ABCD的边AD相切时，如图3，根据AN+NO=AO列式可得t的值；
③当⊙P与矩形ABCD的边CD相切时，如图4，根据PM+PH=BC列式可得t的值．

解答 解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠OBC=90°，
tan∠BOC=$\frac{BC}{OB}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BOC=30°，
当AP⊥OP时，PA的值最小，
∵OA=AB+OB=4+2$\sqrt{3}$，
在Rt△AOP中，∵∠AOE=60°，
∴sin60=$\frac{AP}{OA}$，
∴AP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$（4+2\sqrt{3}）$=2$\sqrt{3}$+3；
则PA的最小值是2$\sqrt{3}$+3；
故答案为：30°，2$\sqrt{3}$+3；
（2）如图2，由题意得：OP=半径r=2t，
连接PC、PM，则PC=PM=PO=r=2t，
∴∠POC=∠PCO=∠BOP-∠BOC=60°-30°=30°，
∵∠BCO=90°-∠BOC=90°-30°=60°，
∴∠PCB=∠BCO+∠PCO=60°+30°=90°，
即半径PC⊥BC（此时直线BC与⊙P相切），
作PN⊥OM于M，
∴∠PNB=∠NBC=∠BCP=90°，
∴四边形PCBN是矩形，
∴BN=PC=2t，
∵∠NOP=60°，
∴在Rt△PNO中，∠OPN=30°，
∴ON=$\frac{1}{2}$OP=t，
∵BN+ON=BO，
∴2t+t=2$\sqrt{3}$，
∴t=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，r=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴当t=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，⊙P经过点C，
S_小弓形OM=S_扇形POM-S_△POM，
∵∠POM=60°且PO=PM，
∴△POM是等边三角形，
∴OM=2ON=2t=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，PN=$\sqrt{3}$t=2，
∴S_小弓形OM=$\frac{60π•（\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×2=$\frac{8}{9}$π-$\frac{4}{3}\sqrt{3}$，

S_大弓形OM=S_圆P-S_小弓形OM=π×$（\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}$-（$\frac{8}{9}$π-$\frac{4}{3}\sqrt{3}$）═$\frac{8}{9}$π+$\frac{4}{3}\sqrt{3}$，
答：⊙P与线段OA围成的封闭图形的面积为$\frac{8}{9}$π-$\frac{4}{3}\sqrt{3}$或$\frac{8}{9}$π+$\frac{4}{3}\sqrt{3}$；
（3）①当⊙P与矩形ABCD的边BC相切时，是（2）问中⊙P过点C，此时t=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
②当⊙P与矩形ABCD的边AD相切时，如图3，
过P作PF⊥AD于F，过P作PN⊥AO于N，
AN=FP=r=2t，
ON=$\frac{1}{2}$OP=t，
∵AN+NO=AO，
∴2t+t=2$\sqrt{3}$+4，
t=$\frac{4+2\sqrt{3}}{3}$，
③当⊙P与矩形ABCD的边CD相切时，如图4，
过PM⊥DC于M，交OA于H，
则PM=OP=2t，
PH=$\sqrt{3}$t，
∵PM+PH=BC，
∴2t+$\sqrt{3}$t=2，
t=4-2$\sqrt{3}$，
综上所述，当⊙P与矩形ABCD的边所在直线相切时t的值是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或$\frac{4+2\sqrt{3}}{3}$或4-2$\sqrt{3}$．

点评 本题是圆的综合题，考查了矩形的性质、垂线段的性质、直角三角形30°角的性质、弓形面积的计算、扇形面积公式、勾股定理、动点问题、直线与圆相切等知识，熟练掌握矩形的性质和直线与圆相切的性质是关键，第三问有难度，采用了分类讨论的思想解决问题，注意不要丢解．