Question

16．已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x²-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值的和为21．

Answer 1

分析 由关于x的一元二次不等式x²-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，可得△=36-4a＞0，即a＜9，设x²-6x+a=0的两个实数解为x₁，x₂，则|x₂-x₁|＜4，解出即可．

解答 解：∵关于x的一元二次不等式x²-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，
∴△=36-4a＞0，
即a＜9，
设x²-6x+a=0的两个实数解为x₁，x₂，
根据根与系数的关系得x₁+x₂=6，x₁x₂=a，
∵关于x的一元二次不等式x²-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，
∴|x₁-x₂|＜4，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂＜16，
∴36-4a＜16，
∴a＞5，
∴5＜a＜9，
∵a∈Z，
∴a=6，7，8；
∴所有符合条件的a的值的和为6+7+8=21，
故答案为：21．

点评 此题是一元二次不等式，主要考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，解本题的关键是得出a＞5．