Question

【题目】探究：

（1）如图1，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°,连结BD、CE．请写出图1中所有全等的三角形： （不添加字母）．

（2）如图2，已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，是过A点的直线，CN⊥，BM⊥，垂足为N、M．求证：△ABM≌△CAN．

解决问题：

（3）如图3，已知△ABC,AB＝AC,∠BAC＝90°,D在边BC上,DA＝DE,∠ADE ＝90°．

求证：AC⊥CE．

Answer 1

【答案】（1）△ABD≌△ACE；（2）见详解；（3）见详解.

【解析】

（1）由∠DAB+∠BAE=∠BAE+∠EAC=90°，得到∠DAB=∠EAC，然后结合AB＝AC，AD＝AE，即可证明△ABD≌△ACE；

（2）由同角的余角相等，得到∠BAM=∠CAN，结合条件AB=AC，∠AMB=∠ANC=90°，即可证明△ABM≌△CAN；

（3）作AH⊥BC于H，EG⊥BC于G，由△ABC是等腰直角三角形，则AH=BH=CH，由∠DAH=∠EDG，得到△ADH≌△DEG，则DG=AH=CH，DH=EG，则DH+HG=HG+GC，得到EG=CG，则得到∠ECG=45°，则∠ACE=90°，即可得到结论成立.

证明：（1）∵∠DAB+∠BAE=∠DAE=90°，∠BAE+∠CAE=∠BAC=90°，

∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS）；

故答案为：△ABD≌△ACE；

（2）∵∠CAN+∠ACN=90°，∠CAN+∠BAM=90°，

∴∠ACN=∠BAM，

在△ABM和△CAN中，

，

∴△ABM≌△CAN（AAS）；

（3）如图：作AH⊥BC于H，EG⊥BC于G，则∠AHD=∠DGE=90°，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AH=BH=CH，∠ACB=45°，

∵∠ADH+∠DAH=∠ADH+∠EDG=90°，

∴∠DAH=∠EDG，

∵AD=DE，

∴△ADH≌△DEG，

∴DG=AH=CH，DH=EG，

∵DH+HG=HG+GC，

∴DH=CG=EG，

∴△CEG是等腰直角三角形，

∴∠ECG=45°，

∴∠ACE=∠ACB+∠ECG=45°+45°=90°，

∴AC⊥CE.