Question

如图，矩形ABCD是一块需探明地下资源的土地，E是AB的中点，EF∥AD交CD于点F，探测装置（设为点P）从E出发沿EF前行时，可探测的区域是以点P为中心，PA为半径的一个圆（及其内部）．当（探测装置）P到达点P₀处时，⊙P₀与BC、EF、AD分别交于G、F、H点．
（1）求证：FD=FC；
（2）指出并说明CD与⊙P₀的位置关系；
（3）若四边形ABGH为正方形，且三角形DFH的面积为（2-2）平方千米，当（探测装置）P从点P₀出发继续前行多少千米到达点P₁处时，A、B、C、D四点恰好在⊙P₁上．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
又∵AD∥EF，
∴AD∥EF∥BC，
又∵AE=BE，
∴DF=FC．

（2）解：DF与⊙P₀相切．
理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，即AD⊥DF，
∵AD∥EF，
∴EF⊥DF；
又∵EF过圆心P₀，OF过半径P₀F的外端，
∴DF切⊙P₀于点F．

（3）解：如图，连接HF，P₀H，延长FE交⊙P₀于点N，EF交HG于点M，设HD=x，DF=y；
∵四边形ABGH是正方形，
∴AB∥HG，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴HG∥CD；
又∵AD∥EF，
∴HD=MF=xDF=MH=y．
又∵正方形ABGH内接于⊙P₀，
∴NE=MF=x，∠P₀HM=45°，
∴在RT△P₀MH中，⊙P₀半径P₀H=HM=y，
∴NF=NE+EP₀+P₀M+MF=2x+2y；
又∵NF=αP₀H=αy，
∴2x+2y=2y．①
又∵S_△HDF=HD•DF=xy=2-2，②
由①、②可得x=2-2，y=2．
∴P₀P₁=P₀F-P₁F=P₀M+MF-P₁F=y+x-P₁F=y+x-EF=y+x-（y+y+x）=x，
∴P₀P₁=-1（千米）．
答：当探查装置P以P₀出发前行（-1）千米到达P₁时，A、B、C、D四点恰好在⊙P₁上．
分析：（1）要证明FD=FC，只要证明AD∥EF∥BC，根据平行线分线段成比例定理，即可求解．
（2）DF与⊙P₀相切．要证明DF与⊙P₀相切，只要证明EF过圆心P₀，OF过半径P₀F的外端，就可以求解．
（3）易证HG∥CD，Rt△P₀MH是等腰直角三角形，根据S_△HDF=HD•DF，就可以求出NE=MF的长．
点评：本题主要考查了平行线分线段成比例定理，以及圆的切线的判定方法．