Question

【题目】在平面直角坐标系中，点A（0，b）、点B（a，0）、点D（d，0）且a、b、c满足．DE⊥x轴且∠BED=∠ABD，BE交y轴于点C，AE交x轴于点F．

（1）求点A、B、D的坐标；

（2）求点C、E、F的坐标；

（3）如图，过P（0，-1）作x轴的平行线，在该平行线上有一点Q（点Q在P的右侧）使∠QEM=45°，QE交x轴于N，ME交y轴正半轴于M，求的值．

Answer 1

【答案】(1)A(0,3) B(-1,0) D(2,0)；(2) E(2,1) F(3,0)；(3)

【解析】

（1）由非负数的性质可求得a、b、d的值，可求得A、B、D的坐标；

（2）由条件可证明△ABO≌△BED，可求得DE和BD的长，可求得E点坐标，再求得直线AE与BE的解析式，可求得C、F点坐标；

（3）过E作EG⊥OA于点G，EH⊥PQ于点Q，可证明四边形GEHP为正方形，在GA上截GI=QH，可证明△IGE≌△QHE，可证得∠IEM=∠MEQ=45°，可证明△EIM≌△EQM，可得到IM=MQ，再结合条件可求得PH=AI=PQ，可求得答案．

解：（1）∵，

∴

∴，

∴A（0，3），B（-1，0），D（2，0）；

（2）∵A（0，3），B（-1，0），D（2，0），

∴OB=1，OD=2，OA=3，

∴AO=BD，

在△ABO和△BED中，

，

∴△ABO≌△BED（AAS），

∴DE=BO=1，

∴E（2，1），

设直线AE解析式为：y=kx+b，直线BE解析式为：y=mx+n，如图1，

把点A、E代入y=kx+b，把点B、E代入y=mx+n，得

，，

解得：，，

∴直线AE解析式为：，

直线BE解析式为：，

∴直线，令，解得：，

∴点F为：，

∴直线，令，解得：，

∴点C为：；

（3）过E作EG⊥OA，EH⊥PQ，垂足分别为G、H，在GA上截取GI=QH，如图2，

∵E（2，1），P（-1，0），

∴GE=GP=GE=PH=2，

∴四边形GEHP为正方形，

∴∠IGE=∠EHQ=90°，

在Rt△IGE和Rt△QHE中

，

∴△IGE≌△QHE（SAS），

∴IE=EQ，∠1=∠2，

∵∠QEM=45°，

∴∠2+∠3=45°，

∴∠1+∠3=45°，

∴∠IEM=∠QEM，

在△EIM和△EQM中，

，

∴△EIM=EQM（SAS），

∴IM=MQ，

∴AM-MQ=AM-IM=AI，

由（2）可知OA=OF=3，∠AOF=90°，

∴∠A=∠AEG=45°，

∴PH=GE=GA=IG+AI，

∴AI=GA-IG=PH-QH=PQ，