Question

3．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5，半径为1的⊙O分别与AB、AC相切于E、F两点，BG是⊙O的切线，切点为G，则BG的长为$\frac{11}{3}$．

Answer 1

分析 延长AO交BC于H．连接OE、OF．首先证明BH=CH=3，AH⊥BC，由△AOE∽△ABH，得到$\frac{OE}{BH}$=$\frac{AE}{AH}$，易知AH=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，求出AE即可解决问题．

解答 解：延长AO交BC于H．连接OE、OF．

∵AE、AF是切线，
∴OA平分∠EAF，OF⊥AC，
∵AB=AC=5，
∴AH⊥BC，BH=CH=3，
由△AOE∽△ABH，得到$\frac{OE}{BH}$=$\frac{AE}{AH}$，易知AH=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴$\frac{1}{3}$=$\frac{AE}{4}$，
∴AE=$\frac{4}{3}$，
BE=AB-AE=$\frac{11}{3}$，
∵BE，BG是⊙O切线，
∴BG=BE=$\frac{11}{3}$．
故答案为$\frac{11}{3}$．

点评 本题考查切线的性质、切线长定理、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．