Question

（2013•泸州）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．
（1）求证：CD²=CA•CB；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，tan∠CDA=

2

3

，求BE的长．

Answer 1

分析：（1）通过相似三角形（△ADC∽△DBC）的对应边成比例来证得结论；
（2）如图，连接OD．欲证明CD是⊙O的切线，只需证明CD⊥OA即可；
（3）通过相似三角形△EBC∽△ODC的对应边成比例列出关于BE的方程，通过解方程来求线段BE的长度即可．

解答：（1）证明：∵∠CDA=∠CBD，∠C=∠C，
∴△ADC∽△DBC，
∴

AC

DC

=

DC

BC

，即CD²=CA•CB；

（2）证明：如图，连接OD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠1+∠3=90°．
∵OA=OD，
∴∠2=∠3，
∴∠1+∠2=90°．
又∠CDA=∠CBD，即∠4=∠1，
∴∠4+∠2=90°，即∠CDO=90°，
∴OD⊥CD．
又∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；

（3）解：如图，连接OE．
∵EB、CD均为⊙O的切线，
∴ED=EB，OE⊥DB，
∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，
∴∠ABD=∠OEB，
∴∠CDA=∠OEB．
而tan∠CDA=

2

3

，
∴tan∠OEB=

OB

BE

=

2

3

，
∵Rt△CDO∽Rt△CBE，
∴

CD

CB

=

OD

BE

=

OB

BE

=

2

3

，
∴CD=8，
在Rt△CBE中，设BE=x，
∴（x+8）²=x²+12²，
解得x=5．
即BE的长为5．

点评：本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质．