【题目】如图,已知在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE,DF分别是∠OAD与∠ODC的平分线,AE的延长线与DF相交于点G,则下列结论:①AG⊥DF;②EF∥AB;③AB=AF;④AB=2EF.其中正确的结论是( )
A.①②B.③④C.①②③D.①②③④
【答案】C
【解析】
①证明∠DAE=∠CDF,进而得∠DAF+∠ADG=90°,便可判断①的正误;
②证明△AGF≌△AGD(ASA),得AG垂直平分DF,得ED=EF,得∠EFD=∠EDF=∠CDF,得EF∥CD,便可判断②的正误;
③由△AGF≌△AGD得AF=AD,便可判断③的正误;
④证明EF=ED=,由平行于三角形一边的直线所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例便可得AB与EF的数量关系,进而判断④的正误.
解:①∵四边形ABCD是正方形,
∴∠CAD=∠BDC=45°,
∵AE,DF分别是∠OAD与∠ODC的平分线,
∴∠DAE=∠CDF,
∵∠ADF+∠CDF=90°,
∴∠DAF+∠ADG=90°,
∴∠AGD=90°,即AG⊥DF,
故①结论正确;
②在△AGF和△AGD中,
,
∴△AGF≌△AGD(ASA),
∴GF=GD,
∵AG⊥DF,
∴EF=ED,
∴∠EFD=∠EDF=∠CDF,
∴EF∥CD∥AB,
故②正确;
③∵△AGF≌△AGD(ASA),
∴AD=AF=AB,
故③正确;
④∵EF∥CD,
∴∠OEF=∠ODC=45°,
∵∠COD=90°,
∴EF=ED=,
∴,
∴AB=CD=(+1)EF,
故④错误.
故选:C.
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【题目】如图,经过原点O的直线与反比例函数y=(a>0)的图象交于A,D两点(点A在第一象限),点B,C,E在反比例函数y=(b<0)的图象上,AB∥y轴,AE∥CD∥x轴,五边形ABCDE的面积为56,四边形ABCD的面积为32,则a﹣b的值为__,的值为__.
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【题目】如图,已知等边△OA1B1,顶点A1在双曲线y=(x>0)上,点B1的坐标为(2,0).过B1作B1A2∥OA1交双曲线于点A2,过A2作A2B2∥A1B1交x轴于点B2,得到第二个等边△B1A2B2;过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3,过A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3,得到第三个等边△B2A3B3;以此类推,…,则点B6的坐标为_____.
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB=BC,延长AC到点D,使得CD=CB,连接BD交⊙O于点E,过点E做BC的平行线交CD于点F.
(1)求证:AE=DE.
(2)求证:EF为⊙O的切线;
(3)若AB=5,BE=3,求弦AC的长.
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【题目】为了优化环境,将对某一小区环境进行绿化,现有甲、乙两家绿化公司进行了投标,各自推出了绿化收费方案如下:甲公司绿化费用(元) 与绿化面积(平方米)是一次函数关系,如图所示。
乙公司:绿化面积不超过1000平方米时,统一收取费用5000元;绿化面积超过1000平方米时,超过部分每平方米收取3元.
(1)求甲、乙公司绿化费用(元)与绿化面积(平方米)的函数表达式;
(2)如果该小区目前的绿化面积是1500平方米,试通过计算说明:选择哪家公司的绿化费用较少?
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【题目】综合与实践:再探平行四边形的性质
问题情境:
学完平行四边形的有关知识后,同学们开展了再探平行四边形性质的数学活动,以下是“希望小组”得到的一个性质:
如图1,已知平行四边形中,,于点,垂直于点,则.
问题解决:
(1)如图2,当时,还成立吗?证明你发现的结论;
(2)如图2,连接和,若.求的度数;
(3)如图3,若,,点是射线上一点,且.则_________.(用含的三角函数表示)
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【题目】如图,在菱形中,,点、分别为边、上的点,且,连接、交于点,连接交于点,则下列结论:①;②;③;④;其中正确的结论个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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