Question

如图，BC是圆O的直径，AD垂直BC于D，

BA

=

AF

，BF与AD交于E，
求证：（1）AE=BE，
（2）若A，F把半圆三等分，BC=12，求AD的长．

Answer 1

分析：（1）连AC，BC为直径，则∠BAC=90°，AD⊥BC，得∠C=∠BAE．由

BA

=

AF

，可得∠C=∠ABF，所以∠ABE=∠BAE，从而证得AE=BE；
（2）A，F把半圆三等分，则∠ACB=30°，由BC=12，得到AB=6，则AC=6

3

，所以AD=3

3

．

解答：（1）证明：连AC，如图，
∵BC为直径，则∠BAC=90°，
∴∠C+∠ABC=90°，
又∵AD⊥BC，
∴∠BAE+∠ABC=90°，
∴∠C=∠BAE，
由

BA

=

AF

，可得∠C=∠ABF，
∴∠ABE=∠BAE，
∴AE=BE；

（2）解：∵A，F把半圆三等分，
∴∠ACB=30°，
在直角三角形ABC中，BC=12，则AB=

1

2

BC=6，AC=

3

AB=6

3

．
在直角三角形ADC中，AD=

1

2

AC=3

3

．
所以AD=3

3

．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆和等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．也考查了直径所对的圆周角为90度以及含30度的直角三角形三边的比为1：

3

：2．