Question

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且tan∠ACO=2．

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求点B的坐标；

（3）在x轴上求点E，使△ACE为直角三角形．（直接写出点E的坐标）

Answer 1

考点：

反比例函数综合题．

专题：

综合题．

分析：

（1）过点A作AD⊥x轴于D，根据A、C的坐标求出AD=6，CD=n+2，已知tan∠ACO=2，可求出n的值，把点的坐标代入解析式即可求得反比例函数和一次函数解析式；

（2）求出反比例函数和一次函数的另外一个交点即可；

（3）分两种情况：①AE⊥x轴，②EA⊥AC，分别写出E的坐标即可．

解答：

解：（1）过点A作AD⊥x轴于D，

∵C的坐标为（﹣2，0），A的坐标为（n，6），

∴AD=6，CD=n+2，

∵tan∠ACO=2，

∴==2，

解得：n=1，

故A（1，6），

∴m=1×6=6，

∴反比例函数表达式为：y=，

又∵点A、C在直线y=kx+b上，

∴，

解得：，

∴一次函数的表达式为：y=2x+4；

（2）由得： =2x+4，

解得：x=1或x=﹣3，

∵A（1，6），

∴B（﹣3，﹣2）；

（3）分两种情况：①当AE⊥x轴时，

即点E与点D重合，

此时E₁（1，0）；

②当EA⊥AC时，

此时△ADE∽△CDA，

则=，

DE==12，

又∵D的坐标为（1，0），

∴E₂（13，0）．

点评：

本题考查了反比例函数的综合题，涉及了点的坐标的求法以及待定系数法求函数解析式的知识，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力．