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已知AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,连接AC,过点C作CD⊥AB于点D.
(1)当点E为DB上任意一点(点D、B除外)时,连接CE并延长交⊙O于点F,AF与CD的延长线交于点G(如图①).
求证:AC2=AG•AF.
(2)李明证明(1)的结论后,又作了以下探究:当点E为AD上任意一点(点A、D除外)时,连接CE并延长交⊙O于点F,连接AF并延长与CD的延长线在圆外交于点G,CG与⊙O相交于点H(如图②).连接FH后,他惊奇地发现∠GFH=∠AFC.根据这一条件,可证GF•GA=GH•GC.请你帮李明给出证明.
(3)当点E为AB的延长线上或反向延长线上任意一点(点A、B除外)时,如图③、④所示,还有许多结论成立.请你根据图③或图④再写出两个类似问题(1)、(2)的结论(两角、两弧、两线段相等或不相等的关系除外)(不要求证明).

(1)证明:延长CG交⊙O于H,
∵CD⊥AB,
∴AB平分CH,弧CA=弧AH,
∴∠ACH=∠AFC,
又∠CAG=∠FAC,
∴△AGC∽△ACF,
=
即AC2=AG•AF.

(2)证明:∵CH⊥AB,
∴弧AC=弧AH,
∴∠AFC=∠ACG
又∠AFC=∠GFH,
∴∠ACG=∠GFH,
又∠G=∠G,
∴△GFH∽△GCA,
=
∴GF•GA=GC•CH.

(3)答:CD2=AD•DB,AC2=AD•AB;EF•EC=EA•EB,AF•GA=AD•AB.
分析:(1)延长CG交⊙O于H,根据垂径定理求出∠ACH=∠AFC,证△AGC∽△ACF即可;
(2)根据垂径定理求出∠ACG=∠GFH,证△GFH∽△GCA即可推出答案;
(3)证△ACD∽△ABC∽△CDB,根据相似三角形的性质即可推出结论;证△ADG∽△AFB即可.
点评:本题主要考查对垂径定理,圆周角定理,相似三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握,能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键.
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3
,那么弦AC长等于
 

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72
,求BC的长.

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如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,直线CD与AB的延长线交于点D,∠COB=2∠DCB.精英家教网
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)点E是
AB
的中点,CE交AB于点F,若AB=4,求EF•EC的值.

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EC
=
CB
.给出下列结论:
①BA⊥DA;②OC∥AE;③OD⊥AC;④∠EAC=
1
4
∠EOB.
其中正确的结论有
①②④
①②④
.(把你认为正确的结论的序号都填上)

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已知AB是⊙O的直径,弧AC的度数是30°.如果⊙O的直径为4,那么AC2等于(  )

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