【题目】如图,在矩形ABCD中,AD=AB,∠BAD的平分线交BC于点E,DH⊥AE于点H,连接BH并延长交CD于点F,连接DE交BF于点O,下列结论:①∠AED=∠CED;②OE=OD;③BH=HF;④BCCF=2HE.其中正确的结论有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】D
【解析】
①根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE=45°,然后利用求出△ABE是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得AE=AB,从而得到AE=AD,然后利用“角角边”证明△ABE和△AHD全等,根据全等三角形对应边相等可得BE=DH,再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE=∠AED=67.5°,根据平角等于180°求出∠CED=67.5°,从而判断出①正确;
②求出∠AHB=67.5°,∠DHO=∠ODH=22.5°,然后根据等角对等边可得OE=OD=OH,判断出②正确;
③求出∠EBH=∠OHD=22.5°,∠AEB=∠HDF=45°,然后利用“角边角”证明△BEH和△HDF全等,根据全等三角形对应边相等可得BH=HF,判断出③正确;
④根据全等三角形对应边相等可得DF=HE,然后根据HE=AE-AH=BC-CD,BC-CF=BC-(CD-DF)=2HE,判断出④正确.
解:∵在矩形ABCD中,AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE=45°,
∴△ABE是等腰直角三角形,
∴AE=AB,
∵AD=AB,
∴AE=AD,
在△ABE和△AHD中,
,
∴△ABE≌△AHD(AAS),
∴BE=DH,
∴AB=BE=AH=HD,
∴∠ADE=∠AED=(180°-45°)=67.5°,
∴∠CED=180°-45°-67.5°=67.5°,
∴∠AED=∠CED,故①正确;
∵AB=AH,
∵∠AHB=(180°-45°)=67.5°,∠OHE=∠AHB(对顶角相等),
∴∠OHE=67.5°=∠AED,
∴OE=OH,
∵∠DHO=90°-67.5°=22.5°,∠ODH=67.5°-45°=22.5°,
∴∠DHO=∠ODH,
∴OH=OD,
∴OE=OD=OH,故②正确;
∵∠EBH=90°-67.5°=22.5°,
∴∠EBH=∠OHD,
在△BEH和△HDF中,
,
∴△BEH≌△HDF(ASA),
∴BH=HF,HE=DF,故③正确;
∵HE=AE-AH=BC-CD,
∴BC-CF=BC-(CD-DF)=BC-(CD-HE)=(BC-CD)+HE=HE+HE=2HE.故④正确;
综上所述,结论正确的是①②③④共4个.
故选:D.
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【题目】随着国内疫情基本得到控制,旅游业也慢慢复苏,经市场调研发现旅游景点未来天内,旅游人数与时间的关系如下表;每张门票与时间之间存在如下图所示的一次函数关系.(,且为整数)
时间(天) | |||||
人数(人) |
请结合上述信息解决下列问题:
(1)直接写出:关于的函数关系式是 .与时间函数关系式是 .
(2)请预测未来天中哪一天的门票收入最多,最多是多少?
(3)为支援武汉抗疫,该旅游景点决定从每天获得的门票收入中拿出元捐赠给武汉红十字会,求捐款后共有几天每天剩余门票收入不低于元?
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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,BE是⊙O的弦,BC是∠ABE的平分线且交⊙O于点C,连接AC,CE,过点C作CD⊥BE,交BE的延长线于点D.
(1)∠DCE ∠CBE;(填“>”“<”或“=”)
(2)求证:DC是⊙O的切线;
(3)若⊙O的直径为10,sin∠BAC=,求BE的长.
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【题目】某地区山峰的高度每增加1百米,气温大约降低0.6℃.气温T(℃)和高度h(百米)的函数关系如图所示.请根据图象解决下列问题:
(1)求高度为5百米时的气温.
(2)求T关于h的函数表达式.
(3)测得山顶的气温为6℃,求该山峰的高度.
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【题目】某工厂接受了20天内生产1200台AB型电子产品的总任务.已知每台AB型产品由4个A型装置和3个B型装置配套组成.工厂现有80名工人,每个工人每天能加工6个A型装置或3个B型装置.工厂将所有工人分成两组同时开始加工,每组分别加工一种装置,并要求每天加工的A、B型装置数量正好全部配套组成AB型产品.为了在规定期限内完成总任务,工厂决定补充一些新工人,这些新工人只能独立进行A型装置的加工,且每人每天只能加工4个A型装置.
(1)设原来每天安排x名工人生产A型装置,后来补充m名新工人,求x的值(用含m的代数式表示)
(2)请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期内完成总任务?
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【题目】如图,抛物线过点A(,2),且与直线交于B、C两点,点B的坐标为(,m).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点D为抛物线上位于直线BC上方的一点,过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E,点P为对称轴上一动点,当线段DE的长度最大时,求PD+PA的最小值;
(3)设点M为抛物线的顶点,在y轴上是否存在点Q,使得∠AQM=45°?若存在,求点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】有一项工程,由甲、乙两个工程队共同完成,若乙工程队单独完成需要60天;若两个工程队合作18天后,甲工程队再单独做10天也恰好完成.
(1)甲工程队单独完成此项工程需要几天?
(2)若甲工程队每天施工费用为0.6万元,乙工程队每天施工费用为0.35万元,要使该项目总施工费用不超过22万元,则乙工程队至少施工多少天?
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【题目】如图1,已知抛物线经过A(-3,0),B(1,0),C(0,-3)三点,其顶点为D,对称轴是直线,与x轴交于点H.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若点P是该抛物线对称轴上的一个动点,求△PBC周长的最小值;
(3)如图2,若E是线段AD上的一个动点(E与A、D不重合),过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F,交x轴于点G,设点E的横坐标为m,△ADF的面积为S.
①试求S与m的函数关系式;
②S是否存在最大值?若存在,求出最大值及此时点E的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】对于平面直角坐标系中的点P和图形M,给出如下定义:Q为图形M上任意一点,如果两点间的距离有最大值,那么称这个最大值为点P与图形M间的开距离,记作.已知直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,的半径为1.
(1)若,
①求的值;
②若点C在直线上,求的最小值;
(2)以点A为中心,将线段顺时针旋转得到,点E在线段组成的图形上,若对于任意点E,总有,直接写出b的取值范围.
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