Question

如下图，已知抛物线y=-

1

7

x²+bx+c和x轴正半轴相交于A、B两点，AB=4，P为抛物线上的一点，它的横坐标为9，∠PBO=135°，cot∠PAB=

7

3

．
（1）求点P的坐标；（2）求抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）根据三角函数求点P的坐标，∠PBO=135°，即∠PBD=45°，有PD=BD，再根据余切cot∠PAB=

7

3

求得．
（2）求抛物线的解析式，先求出A，B的坐标，再运用代入法求出．

解答：解：（1）过点P作PD⊥x轴，垂足为D．
∵∠PBO=135°，
∴∠PBD=45°，
∴PD=BD．
在Rt△PAD中，AD=AB+BD=4+PD，
∴cot∠PAD=

AD

PD

=

4+PD

PD

=

7

3

，
解得：PD=3，
∴点P的坐标为（9，-3）；

（2）∵OA=OD-AD=9-7=2，
∴点A的坐标为A（2，0），
将A、P两点坐标代入y=-

1

7

x2+bx+c中，得

- 4 7 +2b+c=0 - 81 7 +9b+c=-3

，
解得b=

8

7

，c=-

12

7

∴抛物线的解析式y=-

1

7

x²+

8

7

x-

12

7

．

点评：此题主要考查了二次函数中结合三角函数求点的坐标，以及代入法求二次函数的解析式，此种题型是中考中热点问题，注意合理利用已知条件，切记忽略条件盲目分析．