Question

【题目】在平面直角坐标系中，若x轴上的点A与y轴上的点B同时在某函数的图象上则称△AOB为该函数图象的“截距三角形”，如图①，△AOB为直线l的“截距三角形”．

（1）某一次函数图象的“截距三角形”是等腰直角三角形，请写出一个符合条件的函数表达式（写出一个即可）；

（2）如图②，若抛物线y＝﹣x2+bx+c在第一象限的“截距三角形”与直线y＝﹣x+4的“截距三角形”完全重合，求这条抛物线对应的函数表达式；

（3）如图③，在（2）的条件下，在第一象限的抛物线上任取一点P，过点P作x轴的平行线与抛物线在第一象限的“截距三角形”的直角边或直角边的延长线交于点D，与斜边或斜边的延长线交于点E，设点P的横坐标为m，线段DE的长度为d．求d与m之间的函数关系式；

（4）如图④，在（3）的条件下，过点E作EF∥y轴交x轴于点F．求四边形ODEF的周长不变时m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+2（答案不唯一）；（2）y＝﹣x2+3x+4；（3）d＝|m2﹣3m|；（4）m＞3或m＜0．

【解析】

（1）按照条件，写出表达式即可，答案不唯一；

（2）点（4，0）、（0，4）是抛物线上的点，将这两个点的坐标代入抛物线表达式，即可求解；

（3）设点P（m，-m2+3m+4），则点E（m2-3m，-m2+3m+4），d=DE=m2-3m，即可求解；

（4）四边形ODEF的周长=2OD+2CE=2（m2-3m-m2+3m+4）=8，d=DE=m2-3m＞0，即可求解．

（1）y＝﹣x+2（答案不唯一）；

（2）y＝﹣x+4，令x＝4，则y＝4，令y＝0，则x＝4，

则点（4，0）、（0，4）是抛物线上的点，

将这两个点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；

（3）设点P（m，﹣m2+3m+4），则点E（m2﹣3m，﹣m2+3m+4），

①当点P在点C之上时，

即﹣m2+3m+4≥4（即：0≤m≤3），

d＝DE＝﹣（m2﹣3m）＝﹣m2+3m；

②当点P在点C之下，

同理d＝DE＝m2﹣3m，此时，m＞3或m＜0；

综上，d＝|m2﹣3m|；

（4）由（2）知：

①当点P在点C之上时，

四边形ODEF的周长＝2OD+2CE＝2（﹣m2+3m﹣m2+3m+4）＝﹣4m2+12m+16，不是常数；

②当点P在点C之下时，

四边形ODEF的周长＝2OD+2CE＝2（m2﹣3m﹣m2+3m+4）＝8，是常数；

即m＞3或m＜0，四边形ODEF的周长不变．