Question

看图回答下面问题：
（1）如下图，已知：直线m∥n，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点．请写出图中，△ABC和△ABP面积之间的数量关系；

（2）如下图，边长为6的正三角形ABC，P是BC边上一点，且PB=1，以PB为一边作正三角形PBD，求△ADC的面积；

（3）如下图，边长为6的正三角形ABC，P是BC边上一点，且PB=2，以PB为一边作正三角形PBD，求△ADC的面积；

（4）根据上述计算的结果，你发现了怎样的规律？提出自己的猜想并依据下图予以证明；

（5）如下图，有一块正三角形的草皮ABC，由于某种原因，需要将三角形草皮ABE移植到三角形的草皮AEC的右侧，成为一块新的三角形草皮ADC（A、E、D三点要在一条直线上），并保持其面积不变，请你画图说明如何确定点D的位置．

Answer 1

解：（1）相等；

（2）根据题意，得∠CBD=∠ACB，
∴AC∥BD，
∴三角形ABD和三角形CBD的面积相等，
∴三角形ADC的面积=等边三角形ABC的面积，
根据等腰三角形的三线合一以及勾股定理，得其高是3，
∴等边三角形ABC的面积=3×3=9；

（3）根据（2）的过程，同理得三角形ADC的面积=9；

（4）△ADC的面积总等于△ABC的面积．
证明如下：
∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴∠ACB=∠DBC=60°，
∴BD∥AC，
∴点B到AC的距离与点D到直线AC的距离相等，
∴S_△ADC=S_△ABC（同底等高），
∵S_△ABC=，
∴S_△ADC=9；

（5）作BD∥AC，交AE的延长线于点D，连接CD即可．
分析：（1）根据两条平行线间的距离处处相等，可知这两个三角形是同底等高的，则两个三角形的面积相等；
（2）根据∠ACB=∠CBD=60°，得AC∥BD．根据（1）中的结论，可以证明要求的三角形的面积等于大等边三角形的面积；
（3）和（2）的思路相同；
（4）在上述求解的过程中，即可发现结论；
（5）根据上述结论，只需保证BD∥AC即可．
点评：注意证明三角形面积相等的方法：等底等高的两个三角形的面积相等．