Question

如图，D为Rt△ABC斜边AB上一点，以CD为直径的圆分别交△ABC三边于E，F，G三点，连接FE，FG．
（1）求证：∠EFG=∠B；
（2）若AC=2BC=4

5

，D为AE的中点，求CD的长．

Answer 1

（1）证明：连接GD；
∵CD是直径，
∴∠CGD=90°；
∴DG∥BC，
∴∠ADG=∠B；
又∵四边形DGFE是圆的内接四边形，
∴∠ADG=∠EFG；
∴∠B=∠EFG；

（2）连接CE，则CE⊥AB；
在Rt△ACB中，AC=4

5

，BC=2

5

；
由勾股定理，得：AB=

AC2+BC2

=10；
由于CE⊥AB，由射影定理，得：AE=AC²÷AB=8；
∴AD=DE=4，BE=2；
CE²=AE•BE=16，∴CE=4；
Rt△CED中，CE=4，DE=4；∴CD=4

2

．