Question

如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．

解答下列问题：
如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点B为抛物线与y轴的交点，求直线AB的解析式；
（3）设点P是抛物线（第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S_△PAB=S_△CAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为：y₁=a（x-1）²+4，
把A（3，0）代入解析式求得a=-1，
所以y₁=-（x-1）²+4=-x²+2x+3，

（2）设直线AB的解析式为：y₂=kx+b，
求得B点的坐标为（0，3），
把A（3，0），B（0，3）代入y₂=kx+b中，
，
解得：
所以y₂=-x+3，

（3）因为C点坐标为（1，4），
所以当x=1时，y₁=4，y₂=2，
所以CD=4-2=2，
，
假设存在符合条件的点P，设点P的横坐标是x，△PAB的铅垂高为h，
则h=y₁-y₂=（-x²+2x+3）-（-x+3）=-x²+3x，
由S_△PAB=S_△CAB，
得：×3×（-x²+2x）=3
化简得：x²-2x+2=0，
∵b²+4ac=4-8=-4＜0，
∴此方程无实数根，
∴不存在这样的点使S_△PAB=S_△CAB．
分析：（1）已知抛物线的顶点和抛物线上的几点，即可利用顶点式求解析式；
（2）利用A，B两点的坐标，由待定系数法求一次函数解析式即可；
（3）根据S_△PAB=S_△CAB即可得到一个关于点P的横坐标的方程，即可求出方程根的情况，进而得到不存在符合要求的P点．
点评：此题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．