Question

2．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，AC=2，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE．
（1）求弦AE的长度；
（2）求S_△ADE：S_△CDB的值；
（2）求S_△ADE：S_△ACE的值．

Answer 1

分析 （1）连接BE，先根据圆周角定理得出∠ACB=90°，由∠B=30°可得出AB的长，再由CE平分∠ACB得出∠BCE=∠BAE=45°，故可得出△ABE是等腰直角三角形，由勾股定理可得出AE的长；
（2）根据勾股定理得出BC的长，再由相似三角形的性质即可得出结论；
（3）过点C作CM⊥AB于点M，连接OE，再由直角三角形的性质得出CD的长，根据三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：（1）连接BE，
∵AB是⊙O的直径，AC=2，
∴∠ACB=90°．
∵∠B=30°，
∴AB=2AC=4．
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=∠BAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴2AE²=AB²，即2AE²=16，解得AE=2$\sqrt{2}$；

（2）∵在Rt△ACB中，AC=2，AB=4，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
∵∠BCE=∠BAE，∠ABC=∠AEC，
∴△ADE∽△CDB，
∴S_△ADE：S_△CDB=（$\frac{AE}{BC}$）²=（$\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$）²=2：3；

（3）过点C作CM⊥AB于点M，连接OE，
∵∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°，
∴CD=AC•sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
∵△ABE是等腰直角三角形，
∴OE⊥AB，OE=2，
∴S_△ADE=$\frac{1}{2}$AD•OE=$\frac{1}{2}$AD×2=AD，S_△ACE=S_△ADC+S_△ADE=$\frac{1}{2}$AD•CD+$\frac{1}{2}$AD•OE=$\frac{1}{2}$AD（CD+OE）=$\frac{1}{2}$AD（$\sqrt{3}$+2），
∴S_△ADE：S_△ACE=AD：$\frac{1}{2}$AD（$\sqrt{3}$+2）=（4-2$\sqrt{3}$）：1．

点评 本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知圆周角定理是解答此题的关键．