Question

已知△ABC是边长为1cm的等边三角形，以BC为边作等腰三角形BCD，使得DB=DC，且∠BDC=120°，点M是AB边上的一个动点，作∠MDN交AC边于点N，且满足∠MDN=60°，则△AMN的周长为    ．

Answer 1

【答案】分析：可在AC延长线上截取CM₁=BM，得Rt△BDM≌Rt△CDM₁，得出边角关系，再求解△MDN≌△M₁DN，得MN=NM₁，再通过线段之间的转化即可得出结论．
解答：证明：如图，在AC延长线上截取CM₁=BM，
∵△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
∴∠DCM₁=90°，
∵BD=CD，
∵在Rt△BDM≌Rt△CDM₁中，
 BD=CD∠ABD=∠DCM₁=90° CM₁=BM，
∴Rt△BDM≌Rt△CDM₁（SAS），
得MD=M₁D，∠MDB=∠M₁DC，
∴∠MDM₁=120°-∠MDB+∠M₁DC=120°，
∴∠NDM₁=60°，
∵MD=M₁D，∠MDN=∠NDM₁=60°，DN=DN，
∴△MDN≌△M₁DN，
∴MN=NM₁，
故△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+AN+NM₁=AM+AM₁=AB+AC=2．
故答案是：2．
点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够通过线段之间的转化进而求解一些简单的结论．