Question

（2006•中山）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm²，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm²吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）这段铁丝被分成两段后，围成正方形．其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为=（5-x），根据“两个正方形的面积之和等于17cm²”作为相等关系列方程，解方程即可求解；
（2）设两个正方形的面积和为y，可得二次函数y=x²+（5-x）²=2（x-）²+，利用二次函数的最值的求法可求得y的最小值是12.5，所以可判断两个正方形的面积之和不可能等于12cm²．
解答：解：（1）设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为（5-x）cm，
依题意列方程得x²+（5-x）²=17，
整理得：x²-5x+4=0，
（x-4）（x-1）=0，
解方程得x₁=1，x₂=4，
1×4=4cm，20-4=16cm；
或4×4=16cm，20-16=4cm．
因此这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm、16cm；

（2）两个正方形的面积之和不可能等于12cm²．
理由：
设两个正方形的面积和为y，则
y=x²+（5-x）²=2（x-）²+，
∵y=12＞0，
∴当x=时，y的最小值=12.5＞12，
∴两个正方形的面积之和不可能等于12cm²；
（另解：由（1）可知x²+（5-x）²=12，
化简后得2x²-10x+13=0，
∵△=（-10）²-4×2×13=-4＜0，
∴方程无实数解；
所以两个正方形的面积之和不可能等于12cm²．）
点评：此题等量关系是：两个正方形的面积之和=17或12．读懂题意，找到等量关系准确的列出方程是解题的关键．