Question

16．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，在?ABCD中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若$\frac{AF}{EF}=3$，求$\frac{CD}{CG}$的值．
（1）尝试探究
在图1中，过点作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是AB=3EH，CG和EH的数量关系是CG=2EH，$\frac{CD}{CG}$的值是$\frac{3}{2}$．
（2）类比延伸
如图2，在原题的条件下，若$\frac{AF}{EF}=m（m$＞0）则$\frac{CD}{CG}$的值是$\frac{m}{2}$（用含m的代数式表示），试写出解答过程．

Answer 1

分析 （1）首先过点作EH∥AB交BG于点H，根据三角形判定的方法，判断出△ABF∽△EHF，即可推得AB和EH的数量关系是AB=3EH；然后根据三角形相似的判定方法，判断出△BEH∽△BCG，即可推得CG和EH的数量关系是CG=2EH，据此求出$\frac{CD}{CG}$的值是$\frac{3}{2}$即可．
（2）首先过点作EH∥AB交BG于点H，根据三角形判定的方法，判断出△ABF∽△EHF，即可推得AB和EH的数量关系是AB=mEH；然后根据三角形相似的判定方法，判断出△BEH∽△BCG，即可推得CG和EH的数量关系是CG=2EH，据此求出$\frac{CD}{CG}$的值是$\frac{m}{2}$即可．

解答 解：（1）如图1，过点作EH∥AB交BG于点H，，
∵EH∥AB，
∴△ABF∽△EHF，
∴$\frac{AB}{EH}$=$\frac{AF}{EF}=3$，
∴AB和EH的数量关系是AB=3EH．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，且AB=CD，
又∵EH∥AB，
∴EH∥CD，
∴△BEH∽△BCG，
∴$\frac{EH}{CG}=\frac{BE}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴CG和EH的数量关系是CG=2EH，
∵AB=3EH，CG=2EH，AB=CD，
∴$\frac{CD}{CG}$=$\frac{3EH}{2EH}$=$\frac{3}{2}$，
即$\frac{CD}{CG}$的值是$\frac{3}{2}$．

（2）如图2，过点作EH∥AB交BG于点H，，
∵EH∥AB，
∴△ABF∽△EHF，
∴$\frac{AB}{EH}$=$\frac{AF}{EF}$=m，
∴AB和EH的数量关系是AB=mEH．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，且AB=CD，
又∵EH∥AB，
∴EH∥CD，
∴△BEH∽△BCG，
∴$\frac{EH}{CG}=\frac{BE}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴CG和EH的数量关系是CG=2EH，
∵AB=mEH，CG=2EH，AB=CD，
∴$\frac{CD}{CG}$=$\frac{mEH}{2EH}$=$\frac{m}{2}$，
即$\frac{CD}{CG}$的值是$\frac{m}{2}$．
故答案为：AB=3EH；CG=2EH；$\frac{3}{2}$；$\frac{m}{2}$．

点评 （1）此题主要考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
（2）此题还考查了类比、转化、从特殊到一般等思想方法，以及数形结合思想的应用，要熟练掌握．