Question

【题目】已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．且△OCP与△PDA的面积比为1：4
（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．
①求证：△OCP∽△PDA；
②求边AB的长；

（2）如图2，连结AP、BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①如图1中，∵四边形ABCD是矩形，

∴∠C=∠D=90°，

∴∠DPA+∠DAP=90°，

∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，

∴∠DPA+∠CPO=90°，

∴∠DAP=∠CPO，

又∵∠D=∠C，

∴△OCP∽△PDA；

②如图1，∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，

∴ = = = ，

∴CP= AD=4，

设OP=x，则CO=8﹣x，

在Rt△PCO中，∠C=90°，

由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42，

解得：x=5，

∴AB=AP=2OP=10，

∴边AB的长为10

（2）

解：结论：线段EF的长度不发生变化．EF=2 ．

理由：如图2中，作MQ∥AN，交PB于点Q，

∵AP=AB，MQ∥AN，

∴∠APB=∠ABP=∠MQP．

∴MP=MQ，

∵BN=PM，

∴BN=QM．

∵MP=MQ，ME⊥PQ，

∴EQ= PQ．

∵MQ∥AN，

∴∠QMF=∠BNF，

在△MFQ和△NFB中，

，

∴△MFQ≌△NFB（AAS），

∴QF=FB，

∴QF= QB，

∴EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB，

由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，

∴PB= =4 ，

∴EF= PB=2 ，

∴当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2 ．

【解析】（1）①只要证明∠PAD=∠CPO，由∠D=∠C=90°，即可证出△OCP∽△PDA；②根据△OCP与△PDA的面积比为1：4，得出CP= AD=4，设OP=x，则CO=8﹣x，由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42 ， 求出x，最后根据AB=2OP即可求出边AB的长；（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根据ME⊥PQ，得出EQ= PQ，根据∠QMF=∠BNF，证出△MFQ≌△NFB，得出QF= QB，再求出EF= PB，由（1）中的结论求出PB，即可判断．