如图1.直线l的解析式为y=-2x+8.它与x轴.y轴分别相交于A.B两点.平行于直线l的直线m从原点O出发.沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动.它与x轴.y轴分别相交于M.N两点.运动时间为t秒(1)求A.B两点的坐标,(2)用含有t的代数式表示△MON的面积S1,(3)如图2.以MN为对角线作矩形OMPN.记△MPN和△OAB重合部分的面积为S2,� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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15．如图1，直线l的解析式为y=-2x+8，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，运动时间为t秒（0＜t≤4）
（1）求A、B两点的坐标；
（2）用含有t的代数式表示△MON的面积S₁；
（3）如图2，以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S₂；
①当2＜t≤4时，试探究S₂与t之间的函数关系；
②在直线m的运动过程中，当t为何值时，S₂=$\frac{1}{4}$S_△OAB，．

分析（1）分别代入x=0、y=0求出与之对应的y、x的值，即可得出点A、B的坐标；
（2）由A、B的坐标即可得出OA、OB的长度，根据直线l∥直线m，即可得出$\frac{OM}{OA}=\frac{ON}{OB}$，由此即可得出M、N的坐标，再根据三角形的面积公式即可得出结论；
（3）①根据矩形的性质可得出点P的坐标，结合一次函数图象上点的坐标特征即可得出点E、F的坐标，利用分割图形求面积法即可得出S₂与t之间的函数关系；
②根据矩形的性质找出当0＜t≤2时，S₂与t之间的函数关系，分0＜t≤2和0＜t≤2两种情况，令S₂=$\frac{1}{4}$S_△OAB，找出关于t的一元二次方程，解方程即可得出结论．

解答解：（1）当x=0时，y=8，
∴点B的坐标为（0，8）；
当y=0时，有-2x+8=0，
解得：x=4，
∴点A的坐标为（4，0）．
（2）∵A（4，0），B（0，8），
∴OA=4，OB=8．
∵直线l∥直线m，
∴$\frac{OM}{OA}=\frac{ON}{OB}$，
∵直线m从原点O出发沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，
∴点M的坐标为（t，0），点N的坐标为（0，2t），
∴S_△OMN=$\frac{1}{2}$•OM•ON=$\frac{1}{2}$×t×2t=t²（0＜t≤4）．
（3）①当2＜t≤4时，P（t，2t），E（4-t，2t），F（t，8-2t），
∵四边形OMPN为矩形，
∴S_△PMN=S_△ONM，
∴S₂=S_△PMN-S_△PEF=S_△ONM-S_△PEF=t²-$\frac{1}{2}$[t-（4-t）]•[2t-（8-2t）]=-3t²+16t-16．
②当0＜t≤2时，矩形OMPN在△OAB内（t=2时，点P在线段AB上），
∴S₂=S_△PMN=S_△ONM=t²．
令S₂=$\frac{1}{4}$S_△OAB=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$×4×8=4，既t²=4，
解得：t=2．
当2＜t≤4时，令S₂=$\frac{1}{4}$S_△OAB=4，
既-3t²+16t-16=4，
解得：t₁=$\frac{10}{3}$，t₂=2（舍去）．
综上可知：当t为2秒或$\frac{10}{3}$秒时，S₂=$\frac{1}{4}$S_△OAB．

点评本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、平行线的性质、三角形的面积以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求出点的坐标；（2）找出点M、N的坐标；（3）①利用分割图形法求出S₂；②找出关于t的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次函数图象上点的坐标特征找出点的坐标是关键．

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