Question

如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，A（－2，0）、
B（0，1）、C（d，2）。

（1）求d的值；
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图
像上。请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线B′C′交y轴于点G。问是否存在x轴上的点M和反比例函数图像上的点P，
使得四边形PGMC′是平行四边形。如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）-3（2），（3）P′（，5），M′（，0），则点P′为所求的点P，点M′为所求的点M。

解：（1）作CN⊥x轴于点N。

在Rt△CNA和Rt△AOB中，
∵NC＝OA＝2，AC＝AB
∴Rt△CNA≌Rt△AOB（HL）。
∴AN＝BO＝1，NO＝NA＋AO＝3，
又∵点C在第二象限，∴d＝－3。
（2）设反比例函数为，点C′和B′在该比例函数图像上，
设C′（c，2），则B′（c＋3，1）。
把点C′和Ｂ′的坐标分别代入，得k＝2 c；k＝c＋3。
∴2 c＝c＋3，c＝3，则k＝6。∴反比例函数解析式为。
得点C′（3，2）；B′（6，1）。
设直线C′B′的解析式为y＝ax＋b，把C′、B′两点坐标代入得，解得。
∴直线C′B′的解析式为。
（3）设Q是G C′的中点，由G（0，3），C′（3，2），得点Q的横坐标为，点Q的纵坐标为
2＋。∴Q（，）。
过点Q作直线l与x轴交于M′点，

与的图象交于P′点，若四边形P′G M′ C′是平行四边形，则有P′Q＝Q M′，易知点M′的横坐标大于，点P′的横坐标小于。
作P′Ｈ⊥x轴于点H，QK⊥y轴于点K，P′H与QK交于点E，作QF⊥x轴于点F，
则△P′EQ≌△QFM′ 。
设EQ＝FM′＝t，则点P′的横坐标x为，点P′的纵坐标y为，
点M′的坐标是（，0）。
∴P′E＝。
由P′Q＝QM′，得P′E²＋EQ²＝QF²＋FM′²，∴，
整理得：，解得（经检验，它是分式方程的解）。
∴，，。
∴P′（，5），M′（，0），则点P′为所求的点P，点M′为所求的点M。   
（1）作CN⊥x轴于点N，由Rt△CNA≌Rt△AOB即可求得d的值。
（2）根据平移的性质，用待定系数法求出反比例函数和直线B′C′的解析式。
（3）根据平行四边形对角线互相平分的性质，取G C′的中点Q，过点Q作直线l与x轴交于M′点，与的图象交于P′点，求出P′Q＝Q M′的点M′和P′的坐标即可。