Question

19．对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=$\frac{ax+by}{2x+y}$（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）=$\frac{a×0+b×1}{2×0+1}$=b．
（1）已知T（1，-1）=-3，T（3，1）=1，那么a=1，b=4；
（2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），那么a、b应满足的关系式是2b-a=0．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用已知新定义化简，计算即可求出a与b的值；
（2）利用已知T（x，y）=T（y，x），可得$\frac{ax+by}{2x+y}$=$\frac{ay+bx}{2y+x}$，再根据比例的性质得到的新定义确定出a与b满足的条件即可．

解答 解：（1）根据题意得：$\frac{a-b}{2-1}$=-3，$\frac{3a+b}{6+1}$=1，
整理得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b=-3}\\{3a+b=7}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=4}\end{array}\right.$；
（2）∵T（x，y）=T（y，x），
∴$\frac{ax+by}{2x+y}$=$\frac{ay+bx}{2y+x}$，
∴（y²-x²）（2b-a）=0，
∵T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立，
∴a、b应满足的关系式是2b-a=0．
故答案为：1，4；2b-a=0．

点评 此题考查了实数的运算，熟练掌握定义新运算的运算法则是解本题的关键．