Question

（2013•建宁县质检）如图：已知抛物线y=-

1

m

x2+(1-

2

m

)x+2（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点A，且点B在点C的左侧．
（1）若该抛物线过点M（2，2），求这个抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，请在第四象限内的该抛物线上找到一点P，使△POC的面积等于△ABC面积的

4

3

，求出P点坐标；
（3）在（1）的条件下，请在抛物线的对称轴上找到一点H，使BH+AH最小，并求出H点的坐标．

Answer 1

分析：（1）将点M的坐标代入抛物线解析式可求出m的值，继而确定抛物线解析式；
（2）先求出点B、点C的坐标，然后求出△ABC的面积，根据△POC的面积等于△ABC面积的

4

3

，求出点P的纵坐标，代入抛物线可求出横坐标．
（3）点C是点B关于对称轴的对称点，连接AC，则AC与对称轴的交点是点H的位置，求出其坐标即可．

解答：解：（1）把点M（2，2）代入二次函数的解析式得：2=-

1

m

×4+(1-

2

m

)×2+2，
解得：m=4．
故所求二次函数为：y=-

1

4

x2+

1

2

x+2．

（2）易求得原抛物线与x轴的交点为B（-2，0），C（4，0），
则BC=6，S△ABC=

1

2

×6×2=6，
设点P的坐标为（x，y），
由题意得，S△POC=

1

2

×4•|y|=2(

1

4

x2-

1

2

x-2)=

1

2

x2-x-4=

4

3

×6，
整理得：x²-2x-24=0，
解得：x₁=-4，x₂=6，
∵P点在第四象限，
∴x=6，y=-4，
∴P（6，-4）．

（3）易求得原抛物线的对称轴为直线x=1，
连接AC，设AC所在的直线解析式为y=kx+b，
则有

4k+b=0 b=2

，
解得：

k=- 1 2 b=2

，
故AC所在的直线解析式为：y=-

1

2

x+2，
当x=1时，y=

3

2

，
故点H的坐标为：（1，

3

2

），
即当H点的坐标为：（1，

3

2

）时，BH+AH最短．

点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求二次函数解析式、轴对称求最短路径及三角形的面积，综合考察的知识点较多，同学们注意培养自己解答综合题的能力，将所学知识融会贯通．