Question

9．在正方形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接DE，点F为DE的中点，连接FA、FB，线段FB与AC交于点G，过B作BH⊥DE交DE的延长线于点H，若BH=3，AG：GC=$\sqrt{3}$：1，则△AFG的面积为9$\sqrt{3}$-$\frac{27}{2}$．

Answer 1

分析 根据正方形的性质求得AD=BC，∠BCD=90°，然后根据直角三角形斜边上中线的性质求得CG=GE=GD，∠GCD=∠GDC，根据等量减等量求得∠BCG=∠ADG，根据SAS求得△ADG≌△BCG，从而证得GA=GB，过点H作HN⊥BC于N，根据正方形的性质可得△CHN为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得HN=CN，再根据平行线分线段成比例定理求出$\frac{BN}{CN}$=$\sqrt{3}$，即$\frac{HN}{BN}$=$\sqrt{3}$，然后求出∠HBN=30°，然后判断出△ABG是等边三角形，再求出∠AGD=75°，然后根据平角等于180°求出∠BGM=45°，再根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的$\sqrt{2}$得到AB=AF=BF=3$\sqrt{2}$，根据三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：连接CF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠BCD=90°，
又∵点F为DE中点，
∴CF=FE=FD，
∴∠FCD=∠FDC，
∴∠BCF=∠ADF，
在△ADF与△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠ADF=∠BCF}\\{DF=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BCF（SAS），
∴FA=FB，
如图，过点G作GN⊥BC于N，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ACB=45°，
∴△CGN为等腰直角三角形，
∴GN=CN，
易得AB∥GN，
∴$\frac{BN}{CN}$=$\frac{AG}{CG}$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{BN}{GN}$=$\sqrt{3}$，
∴∠GBN=30°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABG=90°-30°=60°，
由（1）知FA=FB，
∴△ABF是等边三角形，
∴AD=AF=AB，
∴∠AFD=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
∴∠BFH=180°-75°-60°=45°，
∵BH⊥DE，
∴△BHF是等腰直角三角形，
∴BF=$\sqrt{2}$BH=3$\sqrt{2}$，
∴AF=AB=3$\sqrt{2}$，
∴AC=6，
∴AG=9-3$\sqrt{3}$，
∴$\frac{{S}_{△ABG}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{9-3\sqrt{3}}{6}$，
∵S_△ABC=9，
∴S_△ABG=$\frac{27-9\sqrt{3}}{2}$，
∵S_△ABF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（3$\sqrt{2}$）²=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
∴△AFG的面积=S_△ABF-S_△ABG=9$\sqrt{3}$-$\frac{27}{2}$．
故答案为：9$\sqrt{3}$-$\frac{27}{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，难点在于（2）作辅助线构造出等腰直角三角形和含30°角的直角三角形，求出∠HBN=30°是本题的难点，也是关键．