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精英家教网如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,BC=a,AD=b,点E、F分别是两腰AB、CD上的点,且EF∥AD,设AE=d1、BE=d2
研究、发现:
(1)当
d1
d2
=
1
1
时,有EF=
a+b
2

d1
d2
=
1
2
时,有EF=
a+2b
3

d1
d2
=
1
3
时,有EF=
a+3b
4

(2)当
d1
d2
=
2
1
时,有EF=
2a+b
3
;当
d1
d2
=
3
1
时,有EF=
3a+b
4

d1
d2
=
4
1
时,有EF=
4a+b
5

填空:①当
d1
d2
=
1
4
时,有EF=
 
;当
d1
d2
=
1
n
时,EF=
 

猜想、证明
d1
d2
=
m
1
时,分别能得到什么结论(其中m、n均为正整数)并证明你的结论;精英家教网
③进一步猜想当
d1
d2
=
m
n
时,有何结论(其中m、n均为正整数)写出你的结论.
解决问题
(3)如图2,有一块梯形木框ABCD,AD∥BC,AD=1米,BC=3米,AB=5米,要在中间加两个横档.操作如下:在AD上取两点E、F,使AE=2米,EF=1.5米,分别从E、F两处做与两底平行的横档EM、FN,求需要木条的总长.
分析:①根据上述具体式子,即可发现规律,写出结论;
②首先根据具体式子,发现规律,写出结论;作平行线,构造一个平行四边形和三角形,根据平行四边形的性质和相似三角形的性质进行求解;
③综合上述结论,即可猜想到EF的结果;
④利用上述结论,求得EM和FN的长.
解答:解:(1)当
d1
d2
=
1
4
时,EF=
a+4b
5

d1
d2
=
1
n
时,EF=
a+nb
n+1

d1
d2
=
m
1
时,EF=
ma+b
m+1

d1
d2
=
m
1
时,EF=
ma+b
m+1

证明:作AG∥CD交BC于点G,交EF于点H,
∵EF∥BC,
∴△AEH∽△ABG.
因为
d1
d2
=
m
1

所以,
EH
BG
=
m
m+1
,∴EH=
m
m+1
(a-b)

EF=
m
m+1
(a-b)+b=
ma+b
m+1


(2)当
d1
d2
=
m
n
时,EF=
ma+nb
m+n


(3)因为AE:BE=2:3,由(2)中的结论可得:
EM=
2BC+3AD
2+3
=1.8
(米)
由于AF:BF=3.5:1.5=7:3,
由(2)中的结论可得:
FN=
7BC+3AD
10
=
7×3+3×1
10
=2.4
(米)
故两木条的总长度是1.8+2.4=4.2(米).
点评:此题综合运用了平行四边形的性质和相似三角形的性质,进行探索结论.能够根据探索的结论进行有关的计算.
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2
2
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