Question

11．在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点P为线段AD垂直平分线上一点，且PD=5，则BP的长是$\sqrt{65}$或$\sqrt{17}$．

Answer 1

分析 如图，根据点P在线段AD垂直平分线MN上，求得MN⊥AD，DM=$\frac{1}{2}$AD=4，MN=AB=4，①点P在矩形外，②点P在矩形内，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：如图，∵点P在线段AD垂直平分线MN上，
∴MN⊥AD，DM=$\frac{1}{2}$AD=4，MN=AB=4，
①点P在矩形外，则P₁M=$\sqrt{{P}_{1}{D}^{2}-D{M}^{2}}$=3，
∴P₁N=7，
∴P₁B=$\sqrt{{P}_{1}{N}^{2}+B{N}^{2}}$=$\sqrt{65}$，
②点P在矩形内，同理P₂M=3，
∴P₂N=1，
∴P₂B=$\sqrt{{P}_{2}{N}^{2}+B{N}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
故答案为：$\sqrt{65}$或$\sqrt{17}$．

点评 此题考查了矩形的性质，线段垂直平分线定理，以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．