Question

如图，平行四边形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，∠A=45°，点P从点A沿AB边向点B移动，点Q从点B沿BC边向点C移动，P、Q同时出发，速度都是1cm/s
（1）P、Q移动几秒时，△PBQ为等腰三角形；
（2）设S_△PBQ=y，请写出y（cm²）与点P、Q的移动时间x（s）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）能否使S_△PBQ=

1

3

SABCD？若不能请说明理由，若能，也说明理由．

Answer 1

分析：（1）表示出PB、BQ的长度，然后根据等腰三角形的两边PB=BQ，列式进行计算即可求解；
（2）根据平行四边形的对边平行可得AD∥BC，过点Q作QE⊥AB，垂足为E，根据两直线平行，同位角相等可得∠QBE=45°，然后求出QE的长度，再根据三角形的面积公式列式进行计算即可求解；
（3）假设能成立，列式并整理得到关于x方程，如果方程有解且在x的取值范围内，则能，否则不能．

解答：解：（1）设P、Q移动x秒时，△PBQ为等腰三角形，
则PB=AB-AP=8-x，BQ=x，
∵PB=BQ，
∴8-x=x，
解得x=4；

（2）如图，过点Q作QE⊥AB，垂足为E，
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∵∠A=45°，
∴∠QBE=∠A=45°，
∴QE=QB•sin45°=

2

2

x，
∴S_△PBQ=y=

1

2

×PB×QE，
=

1

2

×（8-x）×

2

2

x，
=-

2

4

x²+2

2

x；
∵P从点A沿AB边向点B移动，点Q从点B沿BC边向点C移动，
∴0≤x≤6，
∴函数关系式为：y=-

2

4

x²+2

2

x（0≤x≤6）；

（3）不能．
理由如下：假设能，
∵AB=8cm，BC=6cm，∠A=45°，
∴S_ABCD=AB•BCsin45°=8×6×

2

2

=24

2

，
∴-

2

4

x²+2

2

x=

1

3

×24

2

，
整理得x²-8x+32=0，
∵△=b²-4ac=（-8）²-4×1×32=-64＜0，
∴此方程无解．
故不能．

点评：本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的两边相等的性质，一元二次方程的应用，是综合性题目，难度较大，根据动点的移动表示出边PB、QB的长度是解题的关键，难度较大，计算时一定要仔细小心．