Question

11．如图，在?ABCD中，BD是对角线，∠ADB=90°，E、F分别为边AB、CD的中点．
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）若BE=4，∠DEB=120°，点M为BF的中点，当点P在BD边上运动时，则PF+PM的最小值为2$\sqrt{3}$，并在图上标出此时点P的位置．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及平行四边形的对边相等证明四边形DEBF的四边相等即可证得；
（2）连接EM，EM与BD的交点就是P，FF+PM的最小值就是EM的长，证明△BEF是等边三角形，利用三角函数求解．

解答 （1）证明：∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB=90°．
∵△ABD中，∠ADB=90°，E时AB的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB=AE=BE．
同理，BF=DF，
∵平行四边形ABCD中，AB=CD，
∴DE=BE=BF=DF，
∴四边形DEBF是菱形；
（2）解：连接BF，
∵菱形DEBF中，∠DEB=120°，
∴∠EF=60°，
∴△BEF是等边三角形，
∵M是BF的中点，
∴EM⊥BF．
则EM=BE•sin60°=4$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．
即PF+PM的最小值是2$\sqrt{3}$．
故答案是：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了菱形的判定与性质以及图形的对称，根据菱形的对称性，理解PF+PM的最小值就是EM的长是关键．