分析 分三种情形:①如图1中,当PC=BC=4时,△BCP为等腰三角形,②如图2中,当PC=BP时,△BCP为等腰三角形,③如图3中,当BC=BP时,D与B重合,△BCP为等腰三角形分别求解即可.
解答 解:①如图1中,当PC=BC=4时,△BCP为等腰三角形,
∴CP2=16;
②如图2中,当PC=BP时,△BCP为等腰三角形,
∵点C关于直线AD的对称点为点P,
∴PC⊥AD,
过P作PF⊥BC于F,
∴BF=CF=$\frac{1}{2}$BC=2,设CD=DP=x,则DF=2-x,PF=$\sqrt{{x}^{2}-(2-x)^{2}}$,
由△CFP∽△ACD得到$\frac{PF}{DC}$=$\frac{CF}{AC}$,
∴$\frac{\sqrt{{x}^{2}-(2-x)^{2}}}{x}$=$\frac{2}{3}$,
∴x=$\frac{9-3\sqrt{5}}{2}$或$\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$(舍弃),
∴PC2=PF2+CF2=4x-4+4=4x=18-6$\sqrt{5}$.
③如图3中,当BC=BP时,D与B重合,,△BCP为等腰三角形.
∵AC=3,BC=4,∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5,
∴PC=2CO=2×$\frac{AC×CB}{AB}$=$\frac{24}{5}$,
∴PC2=$\frac{576}{25}$.
综上所述PC2的值为16或18-6$\sqrt{5}$或$\frac{576}{25}$.
度答案为16或18-6$\sqrt{5}$或$\frac{576}{25}$.
点评 本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会分类讨论,注意不能漏解,属于中考常考题型.
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